離散一様分布（期待値・分散）

統計 資格



1. 離散一様分布とは

離散一様分布では、全ての n 個の値が等しい確率で発生します。


確率質量関数は次のように定義されます。

\displaystyle{ P(X=x) = \frac{1}{n},　　x=1,2,...,n }




2. 期待値の導出

期待値は定義通り求めます。

\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \sum_{x=1}^{n} x P(X=x) \\ &= \sum_{x=1}^{n}x・\frac{1}{n} \\ &= \frac{1}{n}\sum_{x=1}^{n}x \\ &= \frac{1}{n}・\frac{1}{2}n(n+1) \\ &= \frac{n+1}{2} \end{align} }




3. 分散の導出

分散は次のように求めます。

\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \sum_{x=1}^{n} x^2 P(X=x) \\ &= \sum_{x=1}^{n} x^2・\frac{1}{n} \\ &= \frac{1}{n} \sum_{x=1}^{n} x^2 \\ &= \frac{1}{n}・\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\ &= \frac{1}{6}(n+1)(2n+1) \end{align} }


公式を使って分散を求めます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - E[X]^2 \\ &= \frac{1}{6}(n+1)(2n+1) - (\frac{n+1}{2})^2 \\ &= \frac{2n^2 + 3n + 1}{6} - \frac{n^2 + 2n + 1}{4} \\ &= \frac{4n^2 + 6n + 2 - 3n^2 - 6n - 3}{12} \\ &= \frac{n^2-1}{12} \end{align} }


※補足として、数列の和の公式を記載しておきます。

\displaystyle{ \begin{align} \sum_{x=1}^{n} 1 &= n\\ \sum_{x=1}^{n} x &= \frac{1}{2}n(n+1) \\ \sum_{x=1}^{n} x^2 &= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ \sum_{x=1}^{n} x^3 &= \Big( \frac{1}{2}n(n+1) \Big)^2 \end{align} }




4. まとめ

  • 確率質量関数

    \displaystyle{ P(X=x) = \frac{1}{n},　　x=1,2,...,n }

  • 期待値

    \displaystyle{ \begin{align} E[X] = \frac{n+1}{2} \end{align} }

  • 分散

    \displaystyle{ \begin{align} V[X] = \frac{n^2-1}{12} \end{align} }