累積分布関数

統計 資格




1. 累積分布関数とは

X を確率変数とするとき、

\displaystyle{ \begin{align} F(x) &= P(X \leq x) \\ \end{align} }

で定義される関数 F(x) を累積分布関数と言います。


確率変数 X が離散型のときは、次のように定義されます。

\displaystyle{ \begin{align} F(x) &= P(X \leq x) \\ &= \sum_{k:x_k\leq x}f(x_k) \end{align} }


確率変数 X が連続型のときは、次のように定義されます。

\displaystyle{ \begin{align} F(x) &= P(X \leq x) \\ &= \int_{-∞}^{x} f(t)dt \end{align} }


確率密度関数と累積分布関数は次の関係が成り立ちます。

\displaystyle{ \begin{align} f(x) = \frac{d}{dx} F(x) \end{align} }


累積分布関数は次の性質を持ちます。

  1. a \leq b のとき、 F(a) \leq F(b) 　※ F(x) は単調増加します。
  2. F(-∞)=0
  3. F(∞)=1
  4. P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)




2. 例題

確率密度関数が次のように与えられてたとします。

\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2\pi} & (0 \leq x \leq 2\pi) \\ 0 & (x \lt 0, 2\pi \lt x) \end{array} \right. }


この確率密度関数の累積分布関数 F(x) を求めます。


分布関数 F(x) を求めるときは、3つの場合に分けて求めます。

  1. x \lt 0 のとき

    \displaystyle{ \begin{align} F(x) = \int _ {-∞}^ {x} f(t) dt = 0 \end{align} }

    ※確率密度関数の範囲外なので、 0になります。


  2. 0 \leq x \leq 2\pi のとき

    \displaystyle{ \begin{align} F(x) = \int _ {-∞}^ {x} f(t) dt \ \end{align} }

    \displaystyle{ \begin{align} \ \ \ \ \ \ \ \ = \int _ {-∞}^ {0} f(t)dt + \int _ {0}^ {x} f(t)dt \end{align} }


    \displaystyle{\int_{-∞}^{0} f(t)dt }は x確率密度関数の範囲外になるので、 0となります。 \displaystyle{ \begin{align} F(x) = \int _ {-∞}^ {0} f(t)dt + \int _ {0}^ {x} f(t)dt\ \end{align} }

    \displaystyle{ \begin{align} \ \ \ \ \ \ \ \ = \int _ {0}^ {x} f(t)dt \ \end{align} }

    \displaystyle{ \begin{align} \ \ \ \ \ \ \ \ = \int _ {0}^ {x} \frac{1}{2\pi} dt \ \end{align} }

    \displaystyle{ \begin{align} \ \ \ \ \ \ \ \ = [\frac{1}{2\pi} t]^ {x} _ {0} \ \end{align} }

    \displaystyle{ \begin{align} \ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{1}{2\pi}x \end{align} }


  3. 2\pi \lt xのとき

    \displaystyle{ \begin{align} F(x) = \int _ {-∞}^ {x} f(t) dt \ \end{align} }

    \displaystyle{ \begin{align} \ \ \ \ \ \ \ \ = \int _ {-∞}^ {0} f(t) dt + \int _ {0}^ {2\pi} f(t) dt + \int _ {2\pi}^ {x} f(t) dt \end{align} }


    \displaystyle{\int _ {-∞}^ {0} f(t) dt}と\displaystyle{\int _ {2\pi}^ {x} f(t) dt}は確率密度関数の範囲外なので、 0になります。

    \displaystyle{\int_{0}^{2\pi} f(t) dt}は確率密度関数の範囲内を積分した値となるので、全確率の 1となります。

    \displaystyle{ \begin{align} F(x) = \int _ {-∞}^ {0} f(t) dt + \int _ {0}^ {2\pi} f(t) dt + \int _ {2\pi}^ {x} f(t) dt \ \end{align} }

    \displaystyle{ \begin{align} \ \ \ \ \ \ \ \ = 1 \end{align} }


以上より、累積分布関数 F(x)は次のようになります。

\displaystyle{ F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & (x \lt 0)\\ \frac{1}{2\pi}x & (0 \leq x \leq 2\pi)\\ 1 & (2\pi \lt x)\\ \end{array} \right. }