ガンマ分布モーメント母関数を使用した期待値と分散の導出

この記事ではモーメント母関数の導出および期待値・分散の導出を解説します。

1. モーメント母関数の導出
2. 期待値の導出
3. 分散の導出

ガンマ分布の解説については、次の記事で解説しています。

こちらも合わせて確認してみてください。

venoda.hatenablog.com

期待値の定義通りに期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com

1. モーメント母関数の導出

形状パラメーター $k$ と尺度パラメーター $\theta$ のガンマ分布 $Ga(k, \theta)$ の確率密度関数は、次のように定義されます。

$\displaystyle{ \begin{align} f(x; k, \theta) = \frac{1}{\Gamma(k)\theta^k}x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}} \end{align} }$

モーメント母関数の定義に従って、ガンマ分布の場合の $M _ X(t)$ を設定します。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= E[e^{tX}] \\ &= \int_{0}^{∞} e^{tx} f(x; k, \theta) \\ \end{align} }$

ガンマ分布の確率密度関数を代入します。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= \int_{0}^{∞} e^{tx} \frac{1}{\Gamma(k)\theta^k}x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}} \ dx \end{align} }$

指数関数の和の法則を用いて、指数部分をまとめて整理します。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= \int_{0}^{∞} \frac{1}{\Gamma(k)\theta^k}x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}+tx} \ dx \\ &= \int_{0}^{∞} \frac{1}{\Gamma(k)\theta^k}x^{k-1}e^{-(\frac{1-\theta t}{\theta})x} \ dx \end{align} }$

分子と分母に $1/(1-\theta t)^ k$ を掛けます。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= \frac{1}{(1-\theta t)^k} \cdot \int_{0}^{∞} \frac{1}{\Gamma(k)\left(\frac{\theta}{1 - \theta t}\right)^k}x^{k-1}e^{-(\frac{1-\theta t}{\theta})x} \ dx \end{align} }$

積分箇所を考えます。

形状パラメーター $k$ と尺度パラメーター $\frac{\theta}{1-\theta t}$ のガンマ分布 $Ga(k, \frac{\theta}{1-\theta t})$ とみることができます。

ガンマ分布の全区間で積分するため、積分結果は全確率の $1$ となり、次のように表すことができます

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= \frac{1}{(1-\theta t)^k} \\ &= \left(\frac{1}{1 - \theta t}\right)^k \end{align} }$

以上がガンマ分布のモーメント母関数の導出になります。

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2. 期待値の導出

平均はモーメント母関数の一階微分 $M'(t)$ に $t=0$ を代入することで得られます。

$\displaystyle{ E[X] = M'(0) }$

先ほど求めた正規分布のモーメント母関数を使用して、正規分布の期待値を求めてみます。

$\displaystyle{ \begin{align} M'(t) &= \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{1 - \theta t}\right)^k \\ &= k \theta \left( \frac{1}{1-\theta t} \right)^{k+1} \end{align} }$

$t=0$ を代入すると次のように求めることができます。

$\displaystyle{ \begin{align} M'(0) &= k \theta \left( \frac{1}{1-\theta \cdot 0} \right)^{k+1} \\ &= k \theta \end{align} }$

$M'(0)=E[X]$ となるため、このようにモーメント母関数から期待値を求めることができました。

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3. 分散の導出

分散はモーメント母関数の二階微分 $M''(t)$ に $t=0$ を代入した値を使用して、次のように求めることができます。

$\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ &= M''(0) - (M'(0))^2 \end{align} }$

先ほど求めたガンマ分布のモーメント母関数と期待値を使用して、ガンマ分布の分散を求めてみます。

$\displaystyle{ \begin{align} M''(t) &= \frac{d^2}{dt^2} \left(\frac{1}{1 - \theta t}\right)^k \\ &= k(k+1)\theta^2 \left(\frac{1}{1 - \theta t}\right)^{k+2} \\ \end{align} }$