ガンマ分布の性質（期待値・分散・モーメント母関数・指数分布との関係・カイ二乗分布との関係）

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1. ガンマ分布とは

ガンマ分布は、形状パラメーター kと尺度パラメーター \thetaの二つのパラメータによって定義されます。

この分布は、非負の実数のみを値として取り、多種多様な形状を示すことができます。

形状パラメーターは分布の形状を、尺度パラメーターは分布の広がりを制御します。


ガンマ分布 Ga(k, \theta)の確率密度関数 は次の式で与えられます。

\displaystyle{ \begin{align} f(x; k, \theta) = \frac{1}{\Gamma(k)\theta^k}x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}} \end{align} }


ここで、 \Gamma(n)はガンマ関数を表します。


※以下、ガンマ関数 \Gamma(n)について補足します。

ガンマ関数 \Gamma(n)は階乗を一般化したもので、次のように定義されます。

\displaystyle{ \begin{align} \Gamma(n) &= \int_{0}^{∞} x^{n-1}・e^{-x} \ dx \end{align} }


ガンマ関数は次の性質を持ちます。

\displaystyle{ \begin{align} \Gamma(n) &= (n-1)\Gamma(n-1)\\ &= (n-1)!\\ \\ \Gamma \bigg(\frac{1}{2}\bigg) &= \sqrt{\pi} \\ \\ \Gamma(1) &= 1 \\ \\ \Gamma \bigg(\frac{1}{2}+n\bigg) &= \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi} & (nは自然数)\\ \\ \Gamma \bigg(\frac{1}{2} -n\bigg) &= \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\sqrt{\pi} & (nは自然数)\\ \end{align} }




2. 期待値と分散

ガンマ分布の期待値と分散は次のようになります。

\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= k\theta \\ V[X] &= k\theta^2 \end{align} }


確率密度関数から期待値と分散を導出の詳細は、次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com




3. モーメント母関数

ガンマ分布のモーメント母関数は次のようになります。

\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= \left( \frac{ 1 }{ 1 - \theta t } \right)^k \end{align} }


詳細な導出は次の記事で解説しています。

加えて、モーメント母関数から期待値と分散の導出も解説しています。

venoda.hatenablog.com




4. 指数分布との関係

形状パラメーター k=1と尺度パラメーター \thetaときのガンマ分布は、パラメータ \lambda=1/\thetaの指数分布 Exp(\lambda)となります。


実際にガンマ分布に対して k=1としたときの確率密度関数を確認してみます。

\displaystyle{ \begin{align} f(x; 1, \theta) &= \frac{1}{\Gamma(1)\theta^1}x^{1-1}e^{-\frac{x}{\theta}} \\ &= \frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}} \\ \end{align} }


これは、パラメータ \lambdaが 1/\thetaのときの指数分布の確率密度関数と等しくなることがわかります。




5. カイ二乗分布との関係

形状パラメーター k=n/2と尺度パラメーター \theta=2のときのガンマ分布は、自由度 nのカイ二乗分布となります。


実際にガンマ分布に対して k=n/2, \theta=2としたときの確率密度関数を確認してみます。

\displaystyle{ \begin{align} f(x; n/2, 2) = \frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2})2^{\frac{n}{2}}}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} \end{align} }


これは、自由度 nのカイ二乗分布の確率密度関数と等しくなることがわかります。




6. まとめ