二項分布 確率母関数を使用した期待値と分散の導出

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この記事では確率母関数の導出および期待値・分散の導出を解説します。



二項分布の解説については、次の記事で解説しています。

こちらも合わせて確認してみてください。

venoda.hatenablog.com


モーメント母関数から期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com


期待値の定義通りに期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com



1. 確率母関数の導出

二項分布 B(n, p) の確率質量関数は、次のように定義されます。

\displaystyle{ P(X=k) = {}_nC_k p^k (1-p)^{n-k} }


確率母関数の定義に従って、二項分布の場合の G_X(s) を設定します。

\displaystyle{ \begin{align} G_X(s) &= E[s^X]\\ &= \sum_{k=0}^{n}P(X=k)s^k \end{align} }


二項分布の確率質量関数を代入します。

\displaystyle{ \begin{align} G_X(s) &= \sum_{k=0}^{n}{}_nC_{k}p^k(1-p)^{n-k}s^k \end{align} }


ここで、 s^k と p^k を組み合わせて (ps)^k として、式を変形させます。

\displaystyle{ \begin{align} G_X(s) &= \sum_{k=0}^{n}{}_nC_{k}(ps)^k(1-p)^{n-k} \end{align} }


下記の二項定理を使用して、式を整理します。

\displaystyle{ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}{}_nC_ka^{n-k}b^k }


a=1-p 、 b=ps とした場合、次のように整理されます。

\displaystyle{ \begin{align} G_X(s) &= \big((1-p) + ps \big)^n \end{align} }


以上が二項分布の確率母関数の導出になります。




2. 期待値の導出

期待値は確率母関数の一階微分 G_X'(s) に s=1 を代入することで得られます。

\displaystyle{ E[X] = G_X'(1) }


先ほど求めた二項分布の確率母関数を使用して、二項分布の期待値を求めてみます。

\displaystyle{ \begin{align} G_X'(s) &= \frac{d}{ds} \big((1-p) + ps \big)^n \\ &= n(1-p+ps)^{n-1}・p \end{align} }


s=1 を代入すると次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} G_X'(1) &= n(1-p+p・1)^{n-1}・p\\ &= np \end{align} }


G_X'(1)=E[X] となるため、このように確率母関数から期待値を求めることができました。




3. 分散の導出

分散は確率母関数の二階微分 G_X''(s) に s=1 ​を代入した値を使用して、次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ &= G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 \end{align} }


先ほど求めた二項分布の確率母関数と期待値を使用して、二項分布の分散を求めてみます。

\displaystyle{ \begin{align} G_X''(s) &= \frac{d^2}{ds^2} \big((1-p) + ps \big)^n \\ &= n(n-1)p^2(1-p+ps)^{n-2} \end{align} }


s=1 を代入すると次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} G_X''(1) &= n(n-1)p^2(1-p+p・1)^{n-2} \\ &= n(n-1)p^2 \end{align} }


これを利用して分散の公式にあてはめます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 \\ &= n(n-1)p^2 + np - n^2p^2\\ &= n^2p^2 - np^2 + np - n^2p^2 \\ &= np - np^2 \\ &= np(1-p) \end{align} }


このようにして確率母関数から分散を求めることができました。