二項分布 モーメント母関数を使用した期待値と分散の導出

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この記事ではモーメント母関数の導出および期待値・分散の導出を解説します。



二項分布の解説については、次の記事で解説しています。

こちらも合わせて確認してみてください。

venoda.hatenablog.com


期待値の定義通りに期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com


確率母関数から期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com



1. モーメント母関数の導出

二項分布 B(n, p) の確率質量関数は、次のように定義されます。

\displaystyle{ P(X=x) = {}_nC_x p^x (1-p)^{n-x} }


モーメント母関数の定義に従って、二項分布の場合の M_X(t) を設定します。

\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= E[e^{tX}] \\ &= \sum_{x=0}^{n} e^{tx} P(X=x) \\ \end{align} }


二項分布の確率質量関数を代入します。

\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= \sum_{x=0}^{n}e^{tx}{}_nC_x p^x (1-p)^{n-x} \end{align} }


ここで、 e^{tx} と p^x を組み合わせて (pe^t)^x として、式を変形させます。

\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= \sum_{x=0}^{n}{}_nC_x (p e^t)^x (1-p)^{n-x} \end{align} }


下記の二項定理を使用して、式を整理します。

\displaystyle{ (a + b)^n = \sum_{x=0}^{n}{}_nC_xa^{n-x}b^x }


a=1-p 、 b=pe^tとした場合、次のように整理されます。

\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) = (pe^t + 1 - p)^n \end{align} }


以上が二項分布のモーメント母関数の導出になります。




2. 期待値の導出

期待値はモーメント母関数の一階微分 M_X'(t) に t=0 を代入することで得られます。

\displaystyle{ E[X] = M_X'(0) }


先ほど求めた二項分布のモーメント母関数を使用して、二項分布の期待値を求めてみます。

\displaystyle{ \begin{align} M_X'(t) &= \frac{d}{dt} (pe^t + 1 - p)^n \\ &= n(pe^t + 1 - p)^{n-1}・pe^t \end{align} }


t=0 を代入すると次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} M_X'(0) &= n(p・1 + 1 - p)^{n-1}・p・1\\ &= np \end{align} }


M_X'(0)=E[X] となるため、このようにモーメント母関数から期待値を求めることができました。




3. 分散の導出

分散はモーメント母関数の二階微分 M_X''(t) に t=0 ​を代入した値を使用して、次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ &= M_X''(0) - M_X'(0)^2 \end{align} }


先ほど求めた二項分布のモーメント母関数と期待値を使用して、二項分布の分散を求めてみます。

\displaystyle{ \begin{align} M_X''(t) &= \frac{d^2}{dt^2} (pe^t + 1 - p)^n \\ &= np(1-p+pe^t)^{n-1} + n(n-1)p^2e^{2t}(1-p+pe^t)^{n-2} \end{align} }


t=0 を代入すると次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} M_X''(0) &= np(1-p+p・1)^{n-1} + n(n-1)p^2・1・(1-p+pe)^{n-2} \\ &= np + n(n-1)p^2 \end{align} }


これを利用して分散の公式にあてはめます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= M_X''(0) - M_X'(0)^2 \\ &= np + n(n-1)p^2 - n^2p^2 \\ &= np + n^2p^2 - np^2 - n^2p^2 \\ &= np - np^2 \\ &= np(1-p) \end{align} }


このようにしてモーメント母関数から分散を求めることができました。