ベルヌーイ分布の性質（期待値・分散・確率母関数・モーメント母関数）

ベルヌーイ分布は、結果が二つだけの確率実験をモデル化するための確率分布です。

典型的には、「成功」と「失敗」の二つの結果を考えます。

この分布は、一回の試行における成功確率 $p$ をパラメータとして使用します。

成功する確率を $p$ 、失敗する確率を $1−p$ とします。

ベルヌーイ分布の確率質量関数は以下のように表されます。

$\displaystyle{ P(X=x) = p^x (1-p)^{1-x} }$

ここで、 $x$ は成功（ $x=1$ ）または失敗（ $x=0$ ）の結果を取ります。

リンク

ベルヌーイ分布の期待値と分散は次のようになります。

$\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= p \\ V[X] &= p(1-p) \end{align} }$

確率質量関数から期待値と分散を導出の詳細は、次の記事で解説しています。

リンク

ベルヌーイ分布のモーメント母関数は次のようになります。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) = p e^t + 1-p \end{align} }$

詳細な導出は次の記事で解説しています。

加えて、モーメント母関数から期待値と分散の導出も解説しています。

リンク

ベルヌーイ分布の確率母関数は次のようになります。

$\displaystyle{ \begin{align} G_X(s) &= ps + 1 - p \end{align} }$

詳細な導出は次の記事で解説しています。

加えて、確率母関数から期待値と分散の導出も解説しています。

リンク

リンク