確率変数の線形結合

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1. 概要

確率変数の線形結合は、複数の確率変数にそれぞれ定数を乗じたものの和で表されます。

具体的には、確率変数 X, Yが与えられたとき、これらの線形結合は一般的に次の形式で表されます。

\displaystyle{ \begin{align} U = aX + bY \end{align} }

ここで a, bは定数です。


この手法は、確率変数の和や差を扱う際に使用されます。




2. 変数変換

次の U, Vで定義された変数を用いて、確率変数 Uの f_U(u)を求めます。

\displaystyle{ \begin{align} U &= aX + bY \\ V &= Y \end{align} }


基本的な流れは、下記の変数変換の解説記事と一緒の流れになります。

venoda.hatenablog.com


まず、最初に変数の逆関数を求めます。

\displaystyle{ \begin{align} x &= \frac{u - bv}{a} \\ y &= v \end{align} }


ヤコビアン |J|を求めます。

\displaystyle{ \begin{align} J &= \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{b}{a} \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ &= \frac{1}{a}*1 - (-\frac{b}{a})*0 \\ &= \frac{1}{a} \end{align} }


新しい確率密度関数 f_{UV}(u, v)を求めます。

\displaystyle{ \begin{align} f_{UV}(u, v) &= f_{XY} \bigg( \frac{u-bv}{a}, v \bigg)・|J| \\ &= \bigg| \frac{1}{a} \bigg|・f_{XY} \bigg( \frac{u-bv}{a}, v \bigg) \end{align} }


上で求めた確率密度関数は確率変数 U,Vの確率密度関数となります。


確率変数 Uの確率分布 f_U(u)を求めたいので、 vを積分して求めていきます。

\displaystyle{ \begin{align} f_U(u) = \int_{-∞}^{∞} \bigg| \frac{1}{a} \bigg|・f_{XY} \bigg( \frac{u-bv}{a}, v \bigg) \ dv \end{align} }


ちなみに、確率変数 X,Yが独立であれば、 f_{XY}(x, y) = f_X(x)・f_Y(y)が成り立つので、次のように表すこともできます。

\displaystyle{ f_U(u) = \int_{-∞}^{∞} \bigg| \frac{1}{a} \bigg|・f_{X}\bigg( \frac{u-bv}{a}\bigg)f_Y\bigg(v\bigg) \ dv }


以上で、線形結合された確率数 Uの確率密度関数が求まりました。




3. 例題

確率変数 X,Yが指数分布に独立に従うとします。

\displaystyle{ \begin{align} f(x) = \lambda e^{-\lambda x} 　(x \ge 0) \end{align} }

このときに、 U=X+Yとしたときの、 f_U(u)を求めます。


  1. 変数の定義

    変数変換を行うために、次のように変数を定義します。

    \displaystyle{ \begin{align} U &= X + Y \\ V &= Y \end{align} }


  2. 逆関数を求める

    \displaystyle{ \begin{align} x &= u -v \\ y &= v \end{align} }


  3. |J|を求める

    \displaystyle{ \begin{align} J &= \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ &= 1*1 - (-1)・0 \\ &= 1 \end{align} }


  4. 確率密度関数 f_{UV}(u, v)を求める

    確率変数 X,Yは互いに独立なので、次のように変換できます。

    \displaystyle{ \begin{align} f _ {XY}(x, y) = f _ X(x)・f _ {Y}(y) \end{align} }


    この式に今まで求めた式を代入していきます。

    \displaystyle{ \begin{align} f _ {UV}(u, v) &= f _ X(u-v)・f _ Y(v)・|J| \\ &= \lambda e^ {-\lambda(u-v)}・\lambda e^ {-\lambda v}・1 \\ &= \lambda^ 2e^ {-\lambda u} \end{align} }


  5. 積分範囲を求める

    f_U(u)を求めるために、 vで積分するために vの積分範囲を考えます。


    逆関数を求めたときに xは、 x = u-vと表すことができました。

    指数分布なので定義から x \ge 0となり、 u-v \ge 0が成り立ち、次のように表すことができます。

    \displaystyle{ \begin{align} u - v = x \ge 0 \\ u - v \ge 0 \\ u \ge v \\ \end{align} }


    逆関数を求めたときに yは、 y=vと表すことができました。

    指数分布なので定義から y \ge 0となるので、次のように表すことができます。

    \displaystyle{ \begin{align} v = y \ge 0 \\ v \ge 0 \end{align} }

    以上をまとめると、 vの範囲は下限が0で、上限が zまでを取ります。

    \displaystyle{ \begin{align} 0 \leq v \leq z \end{align} }


  6. f_U(u)を求める

    以上を踏まえて、 f_{UV}(u, v)を vで積分して f_U(u)を求めます。

\displaystyle{ \begin{align} f_U(u) &= \int_{0}^{u} f_{UV}(u, v) \ dv \\ &= \int_{0}^{u} \lambda^2e^{-\lambda u} \ dv \\ &= \bigg[ \lambda^2 v e^{-\lambda u} \bigg]_{0}^{u} \\ &= \lambda^2 u e^{-\lambda u} \end{align} }


以上より、 f_U(u)は次のように求めることができました。

\displaystyle{ \begin{align} f_U(u) &= \lambda^2 u e^{-\lambda u} \end{align} }