変数変換（1変数・2変数・平方変換）

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1. 変数変換後の期待値・分散

確率変数 Xから、 Y=aX+bという新しい確率変数 Yを定義したとき、期待値と分散は次のようになります。


  • 期待値

    \displaystyle{ \begin{align} E[Y] = E[aX + b] \end{align} }

    \displaystyle{ \begin{align} \ \ \ \ \ \ \ \ \ = aE[X] + b \end{align} }


  • 分散

    \displaystyle{ \begin{align} V[Y] = V[aX + b] \end{align} }

    \displaystyle{ \begin{align} \ \ \ \ = a^ 2V[X] \end{align} }


実際に上記の式になるか確認してみます。


まずは期待値から確認していきます。

\displaystyle{ \begin{align} E[Y] &= E[aX+b] \\ &= \int_{-∞}^{∞}(ax+b)f(x)dx \\ &= a\int_{-∞}^{∞}xf(x)dx + b\int_{-∞}^{∞}f(x)dx \end{align} }


ここで \int_{-∞}^{∞}f(x)dx は全確率となるので 1になります。

\int_{-∞}^{∞}xf(x)dxは、確率変数 Xの期待値となるので、 E[X]となります。

以上より、確率変数 Yの期待値は次のようになることがわかります。

\displaystyle{ \begin{align} E[Y] &= a\int_{-∞}^{∞}xf(x)dx + b\int_{-∞}^{∞}f(x)dx \\ &= aE[X] + b \end{align} }


続いて、分散を確認してみます。

\displaystyle{ \begin{align} V[Y] &= V[aX+b] \\ &= \int_{-∞}^{∞}\big\{(ax+b) - (a\mu+b)\big\}^2f(x)dx \\ &= \int_{-∞}^{∞}\big\{a(x-\mu)\big\}^2f(x)dx \\ &= \int_{-∞}^{∞}a^2(x-\mu)^2f(x)dx \\ &= a^2\int_{-∞}^{∞}(x-\mu)^2f(x)dx \\ \end{align} }


ここで、 \int_{-∞}^{∞}(x-\mu)^2f(x)dxは、確率変数 Xの分散となるので、 V[X]となります。

以上より、確率変数 Yの分散は次のようになることがわかります。

\displaystyle{ \begin{align} V[Y] &= a^2\int_{-∞}^{∞}(x-\mu)^2f(x)dx \\ &= a^2V[X] \end{align} }




2. 確率密度関数の変数変換(1変数)

1. 変数変換

確率密度関数の変数変換は、ある変数に関する確率分布を、異なる変数に関する確率分布へと変更する方法です。


1変数のケースにおいては、与えられた変数 Xから新しい変数 Y​への変数変換を考えます。

新しい変数 Yは y=g(x)で定義されるものとします。


与えられた変数 Xも、新しい変数 Yも確率となるので、全確率はどちらも 1となります。

\displaystyle{ \begin{align} \int_{-∞}^{∞} f_X(x) dx = 1\\ \int_{-∞}^{∞} f_Y(y) dy = 1 \end{align} }


ここから Xと Yは次の関係が成り立ちます。

\displaystyle{ \int_{-∞}^{∞} f_Y(y) dy = \int_{-∞}^{∞} f_X(x) dx }


右辺の \int_{-∞}^{∞} f_X(x) dxを考えます。

変換される後の変数 Yは y=g(x)で定義されていて、逆関数 x=g^{-1}(y)の形に直すことができます。

また、右辺の積分変数を xから yに変換します。( \frac{dy}{dy}を右辺に掛けます。)

\displaystyle{ \begin{align} \int_{-∞}^{∞} f_Y(y) dy &= \int_{-∞}^{∞} f_X(x) dx \\ &= \int_{-∞}^{∞} f_X(g^{-1}(y))\frac{dy}{dy}dx \\ &= \int_{-∞}^{∞} f_X(g^{-1}(y))\frac{dy}{dx}dy \\ \end{align} }


以上より、新しい変数 Yの確率分布は次のように表すことができます。

\displaystyle{ \begin{align} f_Y(y) &= f_X(g^{-1}(y))\frac{dy}{dx} \end{align} }


ここで、積分区間に注意にしてください。

変数 Xが Y​に変換される過程で、積分区間もそれに合わせて変わります。

詳細は例題の中で解説します。


2. 例題

数式だけだとイメージがつきにくいと思うので、例題を通して具体的に解説します。


確率変数 Xが、次の確率密度関数に従うとします。

\displaystyle{ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}x & (0 \leq x \leq 2) \\ 0 & (x \lt 0, 2 \lt x) \end{array} \right. }


ここで Y=3X-1によって確率変数 Yが定義されるとき、 f_Y(y)を求めます。


  1. Y=3X-1の逆関数を求める

    \displaystyle{ \begin{align} y &= 3x - 1 \\ x &= \frac{y+1}{3} \end{align} }


  2. \frac{dx}{dy}を求める

    \displaystyle{ \begin{align} \frac{dx}{dy} &= \bigg(\frac{y+1}{3}\bigg)' \\ &= \frac{1}{3} \end{align} }


  3. 積分区間を求める

    X=0のとき、 Y=3・0 - 1 = -1

    X=2のとき、 Y=3・2 - 1 = 5

    となるので、まとめると次のようになります。

    \displaystyle{ \left\{ \begin{array}{ll} x: 0 → 2\\ y: -1 →5 \end{array} \right. }


  4. 新しい確率密度関数を求める

    f _ Y(y) = f _ X(g^ {-1}(y))\frac{dy}{dx} ​に沿って、今まで求めた式を代入していきます。

    \displaystyle{ \begin{align} \int _ {0}^ {2} f _ X(x) dx &= \int _ {0}^ {2} \frac{1}{2}x \ dx \\ &= \int _ {-1}^ {5} \frac{1}{2}(\frac{y+1}{3})・\frac{1}{3}\ dy \\ &= \int _ {-1}^ {5} \frac{y+1}{18}\ dy \end{align} }


以上より、 f_Y(y)は次のように求めることができます。

\displaystyle{ f_{Y}(y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{y+1}{18} & (-1 \leq x \leq 5) \\ 0 & (x \lt -1, 5 \lt x) \end{array} \right. }




3. 確率密度関数の変数変換(2変数)

1. 変数変換

二変数の場合の同時確率密度関数の変数変換は、2つの確率変数 Xと Yから新しい2つの確率変数 Uと Vへの変換を扱います。

新しい変数 Uと Vは次のように定義されるものとします。

\displaystyle{ \begin{align} u = g(x, y) \\ v = h(x, y) \end{align} }


基本的な流れは1変数の変数変換の時と同様となります。


与えられた変数 Xと Yの同時確率密度関数も、新しい変数 Uと Vの同時確率密度関数も確率となるので、全確率はどちらも 1となります。

\displaystyle{ \begin{align} \int \int f_{XY}(x, y) \ dxdy = 1\\ \int \int f_{UV}(u, v) \ dxdy = 1\\ \end{align} }


ここから次の関係が成り立ちます。

\displaystyle{ \begin{align} \int \int f_{UV}(u, v) \ dxdy = \int \int f_{XY}(x, y) \ dxdy \end{align} }


右辺の \int \int f_{XY}(x, y) \ dxdyを考えます。

変換される後の変数 Uと Vはそれぞれ次のように定義されています。

\displaystyle{ \begin{align} u = g(x, y) \\ v = h(x, y) \end{align} }


この逆関数を次のように表します。

\displaystyle{ \begin{align} x = x(u, v)\\ y = y(u, v) \end{align} }


2変数の場合は1変数の時とは異なり、 |J|（ヤコビアン）を掛けます。

|J|は次のように計算されます。

\displaystyle{ \begin{align} J &= \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \\ &= \frac{\partial x}{\partial u}・\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v}・\frac{\partial y}{\partial u} \end{align} }


これらを用いると、次のようになります。

\displaystyle{ \begin{align} \int \int f_{UV}(u, v) \ dxdy &= \int \int f_{XY}(x, y) \ dxdy \\ &= \int \int f_{XY}(x(u, v), y(u, v)) \ |J| \ dudv \end{align} }


以上より、新しい変数 Uと Vの確率分布は次のように表すことができます。

\displaystyle{ \begin{align} f_{UV}(u, v) = f_{XY}(x(u, v), y(u, v)) \ |J| \end{align} }


ここで、1変数の変数変換の時と同様に積分区間に注意にしてください。

変数 Xと Y​に変換される過程で、積分区間もそれに合わせて変わります。


2. 例題

数式だけだとイメージがつきにくいと思うので、例題を通して具体的に解説します。


確率変数 Xと Yが、次の確率密度関数に従うとします。

\displaystyle{ \begin{align} f_{XY}(x, y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{4}{3}x + y^2 & (0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1) \\ 0 & (それ以外) \end{array} \right. \end{align} }


ここで Uと Vを次のように定義したときの、 f_{UV}(u,v)を求めます。

\displaystyle{ \begin{align} U &= X \\ V &= \frac{X+Y}{2} \end{align} }


  1. 逆関数を求める

    \displaystyle{ \begin{align} x &= u \\ y &= 2v - u \end{align} }


  2. |J|を求める

    \displaystyle{ \begin{align} J &= \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \\ &= 1*2 - (-1)・0 \\ &= 2 \end{align} }

    となり、ヤコビアンの絶対値 |J|は 2となります。


  3. 新しい確率密度関数を求める

    f _ {UV}(u, v) = f _ {XY}(x(u, v), y(u, v)) \ |J| に沿って、今まで求めた式を代入していきます。

    \displaystyle{ \begin{align} \int \int f _ {XY}(x, y) \ dxdy &= \int \int \bigg(\frac{4}{3}x + y^ 2\bigg) \ dxdy \\ &= \int \int \bigg(\frac{4}{3}u + (2v-u)^ 2 \bigg)・2 \ dudv \\ &= \int \int \bigg(\frac{8}{3}u + 2(2v-u)^ 2 \bigg) \ dudv \\ &= \int \int \bigg(\frac{8}{3}u+8v^ 2-8uv+2u^ 2 \bigg) \ dudv \\ \end{align} \\ }


以上より、 f_{UV}(u, v)は次のように求めることができます。

\displaystyle{ f_{UV}(u, v) = \frac{8}{3}u+8v^2-8uv+2u^2 }




4. 確率密度関数の変数変換(平方変換)

少し注意が必要な特殊な形として、確率変数 Xがある確率密度関数 f_X(x)に従うとき、新たな確率変数 Y=X^2としたのときの Yの確率密度関数 f_Y(y)を考えます。


Y=X^2の逆関数を求めると、次のようになります。

\displaystyle{ x = \pm \sqrt{y} }


Xの値が1つの Yに対して、正の値と負の値があります。

このケースでは正負の両方のケースを考えていく必要があります。


累積分布関数を使用して、 Yの確率密度関数 f_Y(y)​を求めていきます。


確率変数 Yの累積分布関数 F_Y(y)は次のように変換できます。

\displaystyle{ \begin{align} F_Y(y) &= P(Y \leq y) \\ &= P(X^2 \leq y) \\ &= P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}) \\ &= F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y}) \end{align} }


累積分布関数を微分すると、確率密度関数となるので、次のようにして確率密度関数 f_Y(y)を求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} f_Y(y) &= \frac{d}{dy}F_X(\sqrt{y}) - \frac{d}{dy}F_X(-\sqrt{y}) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{y}} (f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y})) \end{align} }