よく使う公式集 - 機械学習ともろもろ

1. ガウス積分
2. マクローリン展開
3. ガンマ関数
4. ベータ関数

1. ガウス 積分

$\displaystyle{ \begin{align} \int_{-∞}^{∞} e^{-x^2} \ dx &= \sqrt{\pi} \\ \\ \int_{-∞}^{∞} e^{-ax^2} \ dx &= \sqrt{\frac{\pi}{a}} \\ \\ \int_{-∞}^{∞} e^{-a(x-b)^2} \ dx &= \sqrt{\frac{\pi}{a}} \\ \\ \int_{-∞}^{∞} e^{-ax^2 + bx} \ dx &= e^{\frac{b^2}{4a}} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \\ \\ \int_{-∞}^{∞} e^{-(ax^2 + bx + c)} \ dx &= e^{\frac{b^2}{4a}-c} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \\ \\ \int_{-∞}^{∞} x e^{-ax^2} \ dx &= 0 \\ \\ \int_{-∞}^{∞} x^2 e^{-ax^2} \ dx &= \frac{1}{2a} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \\ \\ \int_{-∞}^{∞} x^{2n-1} e^{-ax^2} \ dx &= 0 \\ \\ \int_{-∞}^{∞} x^{2n} e^{-ax^2} \ dx &= \frac{(2n-1)!!}{(2a)^n} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{align} }$

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2. マクローリン展開

マクローリン展開の一般形

$\displaystyle{ \begin{align} f(x) &= \sum _ {k=0}^ {∞} f^ {(k)}(0)\frac{x^ k}{k!} \end{align} }$
有名な関数のマクローリン展開

$\displaystyle{ \begin{align} e^ x &= 1 + x + \frac{x^ 2}{2!} + \frac{x^ 3}{3!} + ・・・ \\ \\ log(1+x) &= x - \frac{x^ 2}{2} + \frac{x^ 3}{3} - ・・・ \\ \\ \sin x &= x - \frac{x^ 3}{3!} + \frac{x^ 5}{5!} - ・・・ \\ \\ \cos x &= 1 - \frac{x^ 2}{2!} + \frac{x^ 4}{4!} - ・・・ \end{align} }$

※ $log(1+x)$ に関しては、 $-1 \lt x \leq 1$ でのみ成立します。

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3. ガンマ関数

ガンマ関数の定義

階乗を一般化したものであり、次のように定義される。

$\displaystyle{ \begin{align} \Gamma(s) &= \int _ {0}^ {∞} x^ {s-1}・e^ {-x} \ dx \end{align} }$
ガンマ関数の性質

$\displaystyle{ \begin{align} \Gamma(s) &= (s-1)\Gamma(s-1)\\ &= (s-1)!\\ \\ \Gamma \bigg(\frac{1}{2}\bigg) &= \sqrt{\pi} \\ \\ \Gamma(1) &= 1 \\ \\ \Gamma \bigg(\frac{1}{2}+n\bigg) &= \frac{(2n-1)!!}{2^ n}\sqrt{\pi} & (nは自然数)\\ \\ \Gamma \bigg(\frac{1}{2} -n\bigg) &= \frac{(-2)^ n}{(2n-1)!!}\sqrt{\pi} & (nは自然数)\\ \end{align} }$

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4. ベータ関数

ベータ関数の定義

$\displaystyle{ \begin{align} B(p, q) = \int _ {0}^ {1} x^ {p-1}・(1-x)^ {q-1} \ dx \end{align} }$
ベータ関数の性質

$\displaystyle{ \begin{align} B(p, q) = \frac{\Gamma(p) \ \Gamma(q)}{\Gamma(p+1)} \end{align} }$

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