指数分布 期待値と分散の導出

統計 資格

この記事では定義通りに期待値・分散の導出を解説します。


指数分布の解説については、次の記事で解説しています。

こちらも合わせて確認してみてください。

venoda.hatenablog.com


モーメント母関数から期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com




1. 期待値の導出

指数分布 Exp(\lambda)の確率密度関数は、次のように定義されます。

\displaystyle{ f(x; \lambda) = \lambda e ^ {-\lambda x} 　　(x \ge 0) }


期待値の定義に従って、指数分布の場合の E[X]を設定します。

\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \int_{0}^{∞} x f(x; \lambda) \end{align} }


指数分布の確率密度関数を代入して、積分計算を行います。

\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \int_{0}^{∞} x \ \lambda e^{-\lambda x} dx \\ &= \left[-xe^{-\lambda x}\right]_{0}^{∞} - \int_{0}^{∞} - e^{-\lambda x} dx \\ &= \int_{0}^{∞} e^{-\lambda x} dx\\ &= \left[ - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_{0}^{∞} \\ &= \frac{1}{\lambda} \end{align} }


このように期待値の定義から期待値を求めることができました。




2. 分散の導出

分散は次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ \end{align} }


分散を求めるために、 E[X^ 2]を求めます。


期待値の定義に従って、指数分布の場合の E[X^ 2]を設定します。

\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \int_{0}^{∞} x^2 f(x; \lambda) \end{align} }


指数分布の確率密度関数を代入して、積分計算を行います。

\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \int_{0}^{∞} x^2 \ \lambda e^{-\lambda x} \\ &= \left[-x^2 e^{-\lambda x}\right]_{0}^{∞} - \int_{0}^{∞} - 2 x \ e^{-\lambda x} dx \\ &= 2 \int_{0}^{∞} x \ e^{-\lambda x} dx \\ &= 2 \left( \left[-x\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{∞} - \int_{0}^{∞} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} dx \right) \\ &= \frac{2}{\lambda} \int_{0}^{∞} e^{-\lambda x} dx \\ &= \frac{2}{\lambda} \left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{∞} \\ &= \frac{2}{\lambda^2} \end{align} }


E[X^ 2]が求まったので、分散の公式に当てはめて分散を求めていきます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ &= \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} \\ &= \frac{1}{\lambda^2} \\ \end{align} }


このように期待値の定義から分散を求めることができました。