指数分布モーメント母関数を使用した期待値と分散の導出

この記事ではモーメント母関数の導出および期待値・分散の導出を解説します。

指数分布の解説については、次の記事で解説しています。

こちらも合わせて確認してみてください。

venoda.hatenablog.com

期待値の定義通りに期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com

1. モーメント母関数の導出

指数分布 $Exp(\lambda)$ の確率密度関数は、次のように定義されます。

$\displaystyle{ f(x; \lambda) = \lambda e ^ {-\lambda x} 　　(x \ge 0) }$

モーメント母関数の定義に従って、指数分布の場合の $M_X(t)$ を設定します。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= E[e^{tX}] \\ &= \int_{0}^{∞} e^{tx} f(x; \lambda) \\ \end{align} }$

指数分布の確率密度関数を代入します。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= \int_{0}^{∞} e^{tx} \lambda e ^ {-\lambda x} \end{align} }$

ここで、 $e^ {tx}$ と $e^ {-\lambda x}$ を組み合わせて $e^ {-(\lambda-t)x}$ として、計算していきます。

$t \lt \lambda$ の条件下で計算します。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= \int_{0}^{∞} \lambda e ^ {-(\lambda-t)x} \\ &= \lambda \left[ \frac{1}{t-\lambda} e^{-(\lambda-t)x}\right]_{0}^{∞} \\ &= \frac{\lambda}{\lambda - t} \end{align} }$

以上が指数分布のモーメント母関数の導出になります。

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2. 期待値の導出

期待値はモーメント母関数の一階微分 $M_X'(t)$ に $t=0$ を代入することで得られます。

$\displaystyle{ E[X] = M_X'(0) }$

先ほど求めた指数分布のモーメント母関数を使用して、指数分布の期待値を求めてみます。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X'(t) &= \frac{d}{dt} \left( \frac{\lambda}{\lambda - t} \right) \\ &= \frac{\lambda}{(\lambda - t )^2} \end{align} }$

$t=0$ を代入すると次のように求めることができます。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X'(0) &= \frac{\lambda}{(\lambda - 0)^2}\\ &= \frac{1}{\lambda} \end{align} }$

$M_X'(0)=E[X]$ となるため、このようにモーメント母関数から期待値を求めることができました。

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3. 分散の導出

分散はモーメント母関数の二階微分 $M_X''(t)$ に $t=0$ を代入した値を使用して、次のように求めることができます。

$\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ &= M_X''(0) - M_X'(0)^2 \end{align} }$

先ほど求めた二項分布のモーメント母関数と期待値を使用して、二項分布の分散を求めてみます。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X''(t) &= \frac{d^2}{dt^2} \left( \frac{\lambda}{\lambda - t} \right) \\ &= \frac{2\lambda}{(\lambda - t)^3} \end{align} }$