ベルヌーイ分布期待値と分散の導出

この記事では定義通りに期待値・分散の導出を解説します。

ベルヌーイ分布の解説については、次の記事で解説しています。

こちらも合わせて確認してみてください。

モーメント母関数から期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

確率母関数から期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

ベルヌーイ分布の確率質量関数は、次のように定義されます。

$\displaystyle{ P(X=x) = p^x (1-p)^{1-x} }$

期待値の定義に従って、二項分布の場合の $E[X]$ を設定します。

$\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \sum_{x=0}^{1} x P(X=x) \\ \end{align} }$

二項分布の確率質量関数を代入して、計算していきます。

$\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \sum_{x=0}^{1} x p^x (1-p)^{1-x} \\ &= 0・p^0・(1-p)^1 + 1・p^1・(1-p)^0 \\ &= p \end{align} }$

このように期待値の定義から期待値を求めることができました。

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分散は次のように求めることができます。

$\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ \end{align} }$

分散を求めるために、 $E[X^2]$ を求めます。

期待値の定義に従って、ベルヌーイ分布の場合の $E[X^2]$ を設定します。

$\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \sum_{x=0}^{1} x^2 P(X=x) \\ \end{align} }$

ベルヌーイ分布の確率質量関数を代入して、計算していきます。

$\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \sum_{x=0}^{1} x^2 p^x (1-p)^{1-x} \\ &= 0^2・p^0・(1-p)^1 + 1^2・p^1・(1-p)^0 \\ &= p \end{align} }$

$E[X^2$ ]が求まったので、分散の公式に当てはめて分散を求めていきます。

$\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ &= p - p^2 \\ &= p(1-p) \end{align} }$

このように期待値の定義から分散を求めることができました。

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