ベルヌーイ分布 モーメント母関数を使用した期待値と分散の導出

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この記事ではモーメント母関数の導出および期待値・分散の導出を解説します。



ベルヌーイ分布の解説については、次の記事で解説しています。

こちらも合わせて確認してみてください。

venoda.hatenablog.com


期待値の定義通りに期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com


確率母関数から期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com



1. モーメント母関数の導出

ベルヌーイ分布の確率質量関数は、次のように定義されます。

\displaystyle{ P(X=x) = p^x (1-p)^{1-x} }


モーメント母関数の定義に従って、ベルヌーイ分布の場合の M_X(t) を設定します。

\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= E[e^{tX}] \\ &= \sum_{x=0}^{n} e^{tx} P(X=x) \\ \end{align} }


ベルヌーイ分布の確率質量関数を代入して、計算していきます。

\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= \sum_{x=0}^{1} e^{tx} p^x (1-p)^{1-x} \\ &= e^{t・0} p^0 (1-p)^{1} + e^{t・1} p^1 (1-p)^{0} \\ &= (1-p) + e^tp \\ &= p e^t + 1 - p \end{align} }


以上がベルヌーイ分布のモーメント母関数の導出になります。




2. 期待値の導出

期待値はモーメント母関数の一階微分 M_X'(t) に t=0 を代入することで得られます。

\displaystyle{ E[X] = M_X'(0) }


先ほど求めた二項分布のモーメント母関数を使用して、二項分布の期待値を求めてみます。

\displaystyle{ \begin{align} M_X'(s) &= \frac{d}{ds} (pe^t + 1 - p) \\ &= pe^t \end{align} }


t=0 を代入すると次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} M_X'(0) &= p・1\\ &= p \end{align} }


M_X'(0)=E[X] となるため、このようにモーメント母関数から期待値を求めることができました。




3. 分散の導出

分散はモーメント母関数の二階微分 M_X''(t) に t=0 ​を代入した値を使用して、次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ &= M_X''(0) - M_X'(0)^2 \end{align} }


先ほど求めたベルヌーイ分布のモーメント母関数と期待値を使用して、二項分布の分散を求めてみます。

\displaystyle{ \begin{align} M_X''(t) &= \frac{d^2}{ds^2} (pe^t + 1 - p) \\ &= p e^t \end{align} }


t=0 を代入すると次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} M_X''(0) &= p・1 \end{align} }


これを利用して分散の公式にあてはめます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= M_X''(0) - M_X'(0)^2 \\ &= p - p^2 \\ &= p(1-p) \end{align} }


このようにしてモーメント母関数から分散を求めることができました。