ベルヌーイ分布確率母関数を使用した期待値と分散の導出

この記事では確率母関数の導出および期待値・分散の導出を解説します。

二項分布の解説については、次の記事で解説しています。

こちらも合わせて確認してみてください。

モーメント母関数から期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

期待値の定義通りに期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

ベルヌーイ分布の確率質量関数は、次のように定義されます。

$\displaystyle{ P(X=x) = p^x (1-p)^{1-x} }$

確率母関数の定義に従って、ベルヌーイ分布の場合の $G_X(s)$ を設定します。

$\displaystyle{ \begin{align} G_X(s) &= E[s^X]\\ &= \sum_{x=0}^{n}P(X=x)s^x \end{align} }$

ベルヌーイ分布の確率質量関数を代入して、計算していきます。

$\displaystyle{ \begin{align} G_X(s) &= \sum_{k=0}^{1} p^x (1-p)^{1-x} s^x \\ &= p^0・(1-p)^1・s^0 + p^1・(1-p)^0・s^1 \\ &= ps + 1 - p \end{align} }$

以上がベルヌーイ分布の確率母関数の導出になります。

リンク

期待値は確率母関数の一階微分 $G_X'(s)$ に $s=1$ を代入することで得られます。

$\displaystyle{ E[X] = G_X'(1) }$

先ほど求めたベルヌーイ分布の確率母関数を使用して、二項分布の期待値を求めてみます。

$\displaystyle{ \begin{align} G_X'(s) &= \frac{d}{ds} (ps + 1 - p) \\ &= p \end{align} }$

$s=1$ を代入すると次のように求めることができます。

$\displaystyle{ \begin{align} G_X'(1) &= p \end{align} }$

$G_X'(1)=E[X]$ となるため、このように確率母関数から期待値を求めることができました。

リンク

分散は確率母関数の二階微分 $G_X''(s)$ に $s=1$ を代入した値を使用して、次のように求めることができます。

$\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ &= G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 \end{align} }$

先ほど求めた二項分布の確率母関数と期待値を使用して、二項分布の分散を求めてみます。

$\displaystyle{ \begin{align} G_X''(s) &= \frac{d^2}{ds^2} (ps + 1 - p) \\ &= 0 \end{align} }$

$s=1$ を代入すると次のように求めることができます。

$\displaystyle{ \begin{align} G_X''(1) &= 0 \end{align} }$

これを利用して分散の公式にあてはめます。

$\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 \\ &= 0 + p - p^2 \\ &= p(1-p) \end{align} }$

このようにして確率母関数から分散を求めることができました。

リンク