連続一様分布（期待値・分散）

統計 資格




1. 連続一様分布とは

連続一様分布は、ある区間内のすべての値が等しい確率で発生する確率分布です。

この分布は、最小値 aと最大値 bの2つのパラメータによって特徴付けられ、この2つの値の間で定義されます。


連続一様分布は、確率変数 Xが区間 [a, b]内の任意の値を同じ確率で取る場合に使用されます。

\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a} & \text{for } a \leq x \leq b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} }




2. 期待値の導出

期待値は定義通り求めます。

\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \int_{a}^{b} x f(x) \ dx\\ &= \int_{a}^{b} x \frac{1}{b-a} \ dx\\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{a}^{b} \\ &= \frac{1}{2(b-a)} (b^2 - a^2) \\ &= \frac{1}{2(b-a)} (b + a)(b-a) \\ &= \frac{a + b}{2} \\ \end{align} }




3. 分散の導出

分散は次のように求めます。

\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \int_{a}^{b} x^2 f(x) \ dx \\ &= \int_{a}^{b} x^2 \frac{1}{b - a} \ dx \\ &= \frac{1}{b - a} \left[\frac{1}{3} x^3 \right]_{a}^{b} \\ &= \frac{1}{3(b - a)} (b^3 - a^3) \\ &= \frac{1}{3(b - a)} (b-a)(a^2 + ab + b^2) \\ &= \frac{a^2 + ab + b^2}{3} \\ \end{align} }


公式を使って分散を求めます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - E[X]^2 \\ &= \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 \\ &= \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \\ &= \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12} \\ &= \frac{a^2 - 2ab + b^2}{12} \\ &= \frac{(b-a)^2}{12} \\ \end{align} }




4. まとめ