正規分布の性質（期待値・分散・モーメント母関数）

統計 資格




1. 正規分布とは

正規分布（またはガウス分布）は、平均値（ \mu）と標準偏差（ \sigma）の2つのパラメータによって特徴づけられます。

確率密度関数は次の式で表されます。

\displaystyle{ \begin{align} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma}} \exp \left( - \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) \end{align} }


正規分布は、 N(\mu, \sigma^ 2)で表されます。


標準正規分布は、特殊な形の正規分布であり、平均が 0、標準偏差が 1の正規分布のことを指します。

標準正規分布は正規分布の一種であり、確率密度関数は次の式で表されます。

\displaystyle{ \begin{align} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left( -\frac{x^2}{2} \right) \end{align} }


任意の正規分布に従うデータを標準正規分布に変換することができます。

この変換は、データから平均を引いて標準偏差で割ることにより行われ、この操作を「標準化」と呼びます。

式で表すと、 Z = \frac{X - \mu}{\sigma}という変換を行います。

つまり、 X ～ N(\mu, \sigma^ 2)のとき、 (X - \mu) / \sigma ～ N(0, 1)となります。

ここで、 Xは元のデータ、 \muは元のデータの平均、 \sigmaは元のデータの標準偏差、 Zは標準化されたデータです。


\Phi(z)は標準正規分布の累積分布関数であり、次のように表されます。

\displaystyle{ \begin{align} P(X \leq x) = \Phi \left( \frac{X - \mu}{\sigma} \right) \end{align} }


標準正規分布の累積分布関数は、平均が 0、標準偏差が 1の正規分布に対する確率を求めるのに使用されます。




2. 期待値と分散

正規分布の期待値と分散は次のようになります。

\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \mu \\ V[X] &= \sigma^2 \end{align} }


確率密度関数から期待値と分散を導出の詳細は、次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com




3. モーメント母関数

正規分布のモーメント母関数は次のようになります。

\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) = \exp \left( \mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t \right) \end{align} }


詳細な導出は次の記事で解説しています。

加えて、モーメント母関数から期待値と分散の導出も解説しています。

venoda.hatenablog.com




4. まとめ