カイ二乗分布 期待値と分散の導出

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この記事では定義通りに期待値・分散の導出を解説します。



カイ二乗分布の解説については、次の記事で解説しています。

こちらも合わせて確認してみてください。

venoda.hatenablog.com


モーメント母関数から期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com



1. 期待値の導出

自由度 nのカイ二乗分布 \chi^ 2 _ nの確率密度関数は、次のように定義されます。

\displaystyle{ f(x; n) = \frac{1}{\Gamma(n/2)}\left(\frac{1}{2}\right)^{n/2}x^{n/2-1}\exp(-x/2), \quad x > 0 }


期待値の定義に従って、カイ二乗分布の場合の E[X]を設定します。

\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \int_{0}^{∞} x \ f(x; n) \ dx \\ \end{align} }


カイ二乗分布の確率密度関数を代入します。

\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \int_{0}^{∞} x \cdot \frac{1}{\Gamma(n/2)}\left(\frac{1}{2}\right)^{n/2}x^{n/2-1}\exp(-x/2) \ dx \end{align} }


ここで、 xと x^ {n/2-1}の指数部分をまとめます。

\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \frac{1}{\Gamma(n/2)}\left(\frac{1}{2}\right)^{n/2}\int_{0}^{∞} x^{(n/2+1)-1}\exp(-x/2) \ dx \end{align} }


次に、分子と分母に \Gamma(n/2+1) \cdot 2^ {n/2+1}を掛けます。

\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \frac{1}{\Gamma(n/2)} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n/2} \cdot \Gamma(n/2+1) \cdot 2^{n/2 + 1} \int_{0}^{∞} \frac{ 1 }{ \Gamma(n/2+1) \cdot 2^{n/2 + 1} } \cdot x^{(n/2+1)-1} \cdot \exp(-x/2) \ dx \end{align} }


積分箇所を考えます。

これは k=n/2+1, \theta=2のガンマ分布 Ga(n/2+1, 2)とみることができます。

ちなみに、ガンマ分布の確率密度関数は次のようになります。

\displaystyle{ \begin{align} f(x; k, \theta) &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}} x^{\alpha - 1} \exp(-\beta x) \end{align} }


ガンマ分布の全区間で積分するため、積分結果は全確率の 1​となり、次のように表すことができます。

\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \frac{1}{\Gamma(n/2)} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n/2} \cdot \Gamma(n/2+1) \cdot 2^{n/2 + 1} \end{align} }


ガンマ関数の部分を考えます。

\Gamma(n/2+1)はガンマ関数の性質により、次のように変形することができます。

\displaystyle{ \begin{align} \Gamma\left(n/2+1\right) = \frac{n}{2}\Gamma\left(n/2\right) \end{align} }


これを用いて、式を変形していきます。

\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \frac{1}{\Gamma(n/2)} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n/2} \cdot \Gamma(n/2+1) \cdot 2^{n/2 + 1} \\ &= \frac{1}{\Gamma(n/2)} \cdot \frac{1}{2^{n/2}} \cdot \frac{n}{2} \cdot \Gamma\left(n/2\right) \cdot 2 \cdot 2^{n/2} \\ &= n \end{align} }


このように期待値の定義から期待値を求めることができました。




2. 分散の導出

分散は次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ \end{align} }


分散を求めるために、 E[X^ 2]を求めます。

期待値の定義に従って、カイ二乗分布の場合の E[X^ 2]​を設定します。

\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \int_{0}^{∞} x^2 \ f(x; n) \ dx \\ \\ \end{align} }


カイ二乗分布の確率密度関数を代入します。

\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \int_{0}^{∞} x^2 \ \cdot \frac{1}{\Gamma(n/2)}\left(\frac{1}{2}\right)^{n/2}x^{n/2-1}\exp(-x/2) \ dx \ dx \\ \end{align} }


ここで、 x^ 2と x^ {n/2-1}の指数部分をまとめます。

\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \frac{1}{\Gamma(n/2)}\left(\frac{1}{2}\right)^{n/2} \int_{0}^{∞} x^{(n/2+2)-1}\exp(-x/2) \ dx \ dx \\ \end{align} }


次に、分子と分母に \Gamma(n/2+2) \cdot 2^ {n/2+2}を掛けます。

\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \frac{1}{\Gamma(n/2)} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n/2} \cdot \Gamma(n/2+2) \cdot 2^{n/2 + 2} \int_{0}^{∞} \frac{ 1 }{ \Gamma(n/2+2) \cdot 2^{n/2 + 2} } \cdot x^{(n/2+2)-1} \cdot \exp(-x/2) \ dx \end{align} }


積分箇所を考えます。

これは k=n/2+2, \theta=2のガンマ分布 Ga(n/2+2, 2)とみることができます。

ガンマ分布の全区間で積分するため、積分結果は全確率の 1となります。

\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \frac{1}{\Gamma(n/2)} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n/2} \cdot \Gamma(n/2+2) \cdot 2^{n/2 + 2} \end{align} }


ガンマ関数の部分を考えます。

\Gamma(n/2+2)はガンマ関数の性質により、次のように変形することができます。

\displaystyle{ \begin{align} \Gamma \left( n/2 + 2 \right) &= \left( \frac{n}{2} + 1 \right) \left( \frac{n}{2}\right) \Gamma(n/2) \end{align} }


これを用いて、式を変形していきます。

\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \frac{1}{\Gamma(n/2)} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n/2} \cdot \Gamma(n/2+2) \cdot 2^{n/2 + 2} \\ &= \frac{1}{\Gamma(n/2)} \cdot \frac{1}{2^{n/2}} \cdot \left( \frac{n}{2} + 1 \right) \cdot \left( \frac{n}{2}\right) \cdot \Gamma(n/2) \cdot 2^{n/2} \cdot 2^2 \\ &= n^2 + 2n \end{align} }


E[X^ 2]​が求まったので、分散の公式に当てはめて分散を求めていきます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ &= n^2 + 2n - n^2 \\ &= 2n \end{align} }


このように期待値の定義から分散を求めることができました。