カイ二乗分布モーメント母関数を使用した期待値と分散の導出

この記事ではモーメント母関数の導出および期待値・分散の導出を解説します。

1. モーメント母関数の導出
2. 期待値の導出
3. 分散の導出

カイ二乗分布の解説については、次の記事で解説しています。

こちらも合わせて確認してみてください。

venoda.hatenablog.com

期待値の定義通りに期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com

1. モーメント母関数の導出

$\chi^ 2 _ n$ の確率密度関数は、次のように定義されます。

$\displaystyle{ \begin{align} f(x; n) = \frac{1}{\Gamma(n/2)}\left(\frac{1}{2}\right)^{n/2}x^{n/2-1}\exp(-x/2), \quad x > 0 \end{align} }$

モーメント母関数の定義に従って、カイ二乗分布の場合の $M _ X(t)$ を設定します。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= E[e^{tX}] \\ &= \int_{0}^{∞} e^{tx} f(x; n) \\ \end{align} }$

カイ二乗分布の確率密度関数を代入します。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= \int_{0}^{∞} e^{tx} \frac{1}{\Gamma(n/2)}\left(\frac{1}{2}\right)^{n/2}x^{n/2-1}\exp(-x/2) \ dx \end{align} }$

指数関数の和の法則を用いて、指数部分をまとめて整理します。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= \int_{0}^{∞} \frac{1}{\Gamma(n/2)}\frac{1}{2^{n/2}}x^{n/2-1}\exp \left(- \frac{1-2t}{2} x \right) \ dx \end{align} }$

$2^ {n/2}$ の箇所を考えます。

$(1 - 2t)^ {n/2}/(1 - 2t)^ {n/2}$ を掛けます。

$\displaystyle{ \begin{align} 2^{n/2} &= 2^{n/2} \cdot \frac{(1 - 2t)^{n/2}}{(1 - 2t)^{n/2}} \\ &= (1 - 2t)^{n/2} \cdot \left( \frac{2}{1-2t} \right)^{n/2} \end{align} }$

これを使用して、式を整理します。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= \int_{0}^{∞} \frac{1}{\Gamma(n/2)} \cdot \frac{1}{(1 - 2t)^{n/2} \cdot \left( \frac{2}{1-2t} \right)^{n/2}} \cdot x^{n/2-1} \cdot \exp \left(- \frac{1-2t}{2} x \right) \ dx \\ &= (1 - 2t)^{-n/2} \int_{0}^{∞} \frac{1}{\Gamma(n/2)} \cdot \frac{1}{\left( \frac{2}{1-2t} \right)^{n/2}} \cdot x^{n/2-1} \cdot \exp \left(- \frac{1-2t}{2} x \right) \ dx \end{align} }$

積分箇所を考えます。

これは $k=n/2, \theta = 2/(1-2t)$ のガンマ分布 $Ga(n/2, 2/(1-2t))$ とみることができます。

ガンマ分布の全区間で積分するため、積分結果は全確率の $1$ となります。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= (1 - 2t)^{-n/2} \\ &= \left( \frac{1}{1-2t} \right)^{n/2} \end{align} }$

以上がカイ二乗分布のモーメント母関数の導出になります。

リンク

2. 期待値の導出

平均はモーメント母関数の一階微分 $M'(t)$ に $t=0$ を代入することで得られます。

$\displaystyle{ E[X] = M'(0) }$

先ほど求めた正規分布のモーメント母関数を使用して、正規分布の期待値を求めてみます。

$\displaystyle{ \begin{align} M'(t) &= \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{1-2t} \right)^{n/2} \\ &= n \left( \frac{1}{1-2t} \right)^{n/2+1} \end{align} }$

$t=0$ を代入すると次のように求めることができます。

$\displaystyle{ \begin{align} M'(0) &= n \left( \frac{1}{1-2 \cdot 0} \right)^{n/2+1}\\ &= n \end{align} }$

$M'(0)=E[X]$ となるため、このようにモーメント母関数から期待値を求めることができました。

リンク

3. 分散の導出

分散はモーメント母関数の二階微分 $M''(t)$ に $t=0$ を代入した値を使用して、次のように求めることができます。

$\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ &= M''(0) - (M'(0))^2 \end{align} }$

先ほど求めたカイ二乗分布のモーメント母関数と期待値を使用して、カイ二乗分布の分散を求めてみます。

$\displaystyle{ \begin{align} M''(t) &= \frac{d^2}{dt^2} \left( \frac{1}{1-2t} \right)^{n/2}\\ &= 2n \left(\frac{n}{2} + 1\right)\left( \frac{1}{1-2t} \right)^{n/2+2}\\ \end{align} }$