ポアソン分布期待値と分散の導出

この記事では定義通りに期待値・分散の導出を解説します。

1. 期待値の導出
2. 分散の導出

ポアソン分布の解説については、次の記事で解説しています。

こちらも合わせて確認してみてください。

venoda.hatenablog.com

モーメント母関数から期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com

確率母関数から期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com

1. 期待値の導出

ポアソン分布 $Po(\lambda)$ の確率質量関数は、次のように定義されます。

$\displaystyle{ P(X=x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} }$

期待値の定義に従って、ポアソン分布の場合の $E[X]$ を設定します。

$\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \sum_{x=1}^{∞} x P(X=x) \\ \end{align} }$

ポアソン分布の確率質量関数を代入します。

$\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \sum_{x=1}^{∞} x \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \\ &= \sum_{x=1}^{∞} \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{(x-1)!} \end{align} }$

ここで、 $\lambda^x$ を $\lambda・\lambda^{x-1}$ として、式を変形させます。

$\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \sum_{x=1}^{∞} \lambda \frac{e^{-\lambda}\lambda^{x-1}}{(x-1)!} \end{align} }$

ここで、 $j=x-1$ とおくと、次のようになります。

$\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \lambda e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{∞} \frac{\lambda^{j}}{j!} \end{align} }$

$\sum_{j=0}^{∞} \frac{\lambda^{j}}{j!}$ の部分のみを考えてみます。

これは、 $e^\lambda$ のマクローリン展開した形となります。

$\displaystyle{ \begin{align} e^\lambda &= 1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2!} + \frac{\lambda^3}{3!} + ・・・ \\ &= \sum_{j=0}^{∞} \frac{\lambda^j}{j!} \end{align} }$

これを利用すると、次のようになります。

$\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \lambda e^{-\lambda} e^\lambda \\ &= \lambda \end{align} }$

このように期待値の定義から期待値を求めることができました。

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2. 分散の導出

分散は次のように求めることができます。

$\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ \end{align} }$

分散を求めるために、 $E[X^2]$ を求めます。

期待値の定義に従って、ポアソン分布の場合の $E[X^2]$ を設定します。

$\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \sum_{x=1}^{∞} x^2 P(X=x) \\ \end{align} }$

ポアソン分布の確率質量関数を代入します。

$\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \sum_{x=1}^{∞} x^2 \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \end{align} }$

ここで、 $x^2$ を $x(x-1)+x$ に変形し、展開します。

$\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \sum_{x=1}^{∞} \big(x(x-1) + x\big) \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \\ &= \sum_{x=2}^{∞} x(x-1) \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} + \sum_{x=1}^{∞} x \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \end{align} }$

ここで右辺の第二項 $\sum_{x=1}^{∞} x \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}$ は、期待値 $E[X]$ となります。

右辺の第一項を計算していきます。

ここで、 $\lambda^x$ を $\lambda^2・\lambda^{x-2}$ として、式を変形させます。

$\displaystyle{ \begin{align} \sum_{x=2}^{∞} x(x-1) \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} &= \sum_{x=2}^{∞} \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{(x-2)!} \\ &= \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{x=2}^{∞} \frac{\lambda^{x-2}}{(x-2)!} \end{align} }$

ここで、 $j=x-2$ とおくと、次のようになります。

$\displaystyle{ \begin{align} \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{x=2}^{∞} \frac{\lambda^{x-2}}{(x-2)!} &= \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{∞} \frac{\lambda^{j}}{j!} \end{align} }$

期待値の計算の時と同様に、 $\sum_{j=0}^{∞} \frac{\lambda^{j}}{j!}$ は $e^{\lambda}$ をマクローリン展開した形となります。

これを用いると、次のようになります。

$\displaystyle{ \begin{align} \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{∞} \frac{\lambda^{j}}{j!} &= \lambda^2 e^{-\lambda} e^{\lambda} \\ &= \lambda^2 \end{align} }$

以上をまとめると、 $E[X^2]$ は次のようになります。

$\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \sum_{x=2}^{∞} x(x-1) \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} + \sum_{x=1}^{∞} x \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \\ &= \lambda^2 + \lambda \end{align} }$