ポアソン分布 モーメント母関数を使用した期待値と分散の導出

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この記事ではモーメント母関数の導出および期待値・分散の導出を解説します。



ポアソン分布の解説については、次の記事で解説しています。

こちらも合わせて確認してみてください。

venoda.hatenablog.com


期待値の定義通りに期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com


確率母関数から期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com



1. モーメント母関数の導出

ポアソン分布 Po(\lambda) の確率質量関数は、次のように定義されます。

\displaystyle{ P(X=x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} }


モーメント母関数の定義に従って、ポアソン分布の場合のM_X(t) を設定します。

\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= E[e^{tX}] \\ &= \sum_{x=0}^{∞} e^{tx} P(X=x) \\ \end{align} }


ポアソン分布の確率質量関数を代入します。

\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= \sum_{x=0}^{∞} e^{tx} \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \end{align} }


ここで、 e^{tx} と \lambda^x を組み合わせて (\lambda e^t)^x として、式を変形させます。

\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= e^{-\lambda} \sum_{x=0}^{∞} \frac{(\lambda e^t)^x}{x!} \end{align} }


\sum_{x=0}^{∞} \frac{(\lambda e^t)^x}{x!} ​の部分のみを考えてみます。

これは、 e^{\lambda e^t} のマクローリン展開した形となります。

\displaystyle{ \begin{align} e^{\lambda e^t} &= 1 + \lambda e^t + \frac{(\lambda e^t)^2}{2!} + \frac{(\lambda e^t)^3}{3!} + ・・・\\ &= \sum_{x=0}^{∞} \frac{(\lambda e^t)^x}{x!} \end{align} }


これを利用すると、次のようになります。

\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= e^{-\lambda} e^{\lambda e^t} \\ &= e^{\lambda (e^t -1)} \end{align} }


以上がポアソン分布のモーメント母関数の導出になります。




2. 期待値の導出

期待値はモーメント母関数の一階微分 M_X'(t)に t=0を代入することで得られます。

\displaystyle{ E[X] = M_X'(0) }


先ほど求めたポアソン分布のモーメント母関数を使用して、ポアソン分布の期待値を求めてみます。

\displaystyle{ \begin{align} M_X'(s) &= \frac{d}{ds} e^{\lambda (e^t -1)} \\ &= \lambda e^t e^{\lambda (e^t -1)} \end{align} }


t=0を代入すると次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} M_X'(0) &= \lambda e^0 e^{\lambda (e^0 -1)}\\ &= \lambda \end{align} }


M_X'(0)=E[X]となるため、このようにモーメント母関数から期待値を求めることができました。




3. 分散の導出

分散はモーメント母関数の二階微分 M_X''(t)に t=0を代入した値を使用して、次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ &= M_X''(0) - M_X'(0)^2 \end{align} }


先ほど求めたポアソン分布のモーメント母関数と期待値を使用して、ポアソン分布の分散を求めてみます。

\displaystyle{ \begin{align} M_X''(t) &= \frac{d^2}{ds^2} e^{\lambda (e^t -1)} \\ &= \lambda e^t e^{\lambda(e^t-1)} + \lambda^2 e^{2t}e^{\lambda(e^t-1)} \end{align} }


t=0を代入すると次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} M_X''(0) &= \lambda e^0 e^{\lambda(e^0-1)} + \lambda^2 e^{2・0}e^{\lambda(e^0-1)} \\ &= \lambda + \lambda^2 \end{align} }


これを利用して分散の公式にあてはめます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= M_X''(0) - M_X'(0)^2 \\ &= \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 \\ &= \lambda \\ \end{align} }

このようにしてモーメント母関数から分散を求めることができました。