ポアソン分布 確率母関数を使用した期待値と分散の導出

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この記事では確率母関数の導出および期待値・分散の導出を解説します。



ポアソン分布の解説については、次の記事で解説しています。

こちらも合わせて確認してみてください。

venoda.hatenablog.com


モーメント母関数から期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com


期待値の定義通りに期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com



1. 確率母関数の導出

ポアソン分布 Po(\lambda)の確率質量関数は、次のように定義されます。

\displaystyle{ P(X=x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} }


確率母関数の定義に従って、ポアソン分布の場合の G_X(s)を設定します。

\displaystyle{ \begin{align} G_X(s) &= E[s^X]\\ &= \sum_{x=0}^{∞}P(X=x)s^x \end{align} }


ポアソン分布の確率質量関数を代入します。

\displaystyle{ \begin{align} G_X(s) &= \sum_{x=0}^{∞} \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} s^x \end{align} }


ここで、 s^{x}と \lambda^xを組み合わせて (\lambda s)^xとして、式を変形させます。

\displaystyle{ \begin{align} G_X(s) &= e^{-\lambda} \sum_{x=0}^{∞} \frac{(\lambda s)^x}{x!} \end{align} }


\sum_{x=0}^{∞} \frac{(\lambda s)^x}{x!}​の部分のみを考えてみます。

これは、 e^{\lambda s}のマクローリン展開した形となります。

\displaystyle{ \begin{align} e^{\lambda s} &= 1 + \lambda s + \frac{(\lambda s)^2}{2!} + \frac{(\lambda s)^3}{3!} + ・・・ \\ &= \sum_{x=0}^{∞} \frac{(\lambda s)^x}{x!} \end{align} }


これを利用すると、次のようになります。

\displaystyle{ \begin{align} G_X(s) &= e^{-\lambda} e^{\lambda s}\\ &= e^{\lambda(s-1)} \end{align} }


以上がポアソン分布の確率母関数の導出になります。




2. 期待値の導出

期待値は確率母関数の一階微分 G_X'(s)に s=1を代入することで得られます。

\displaystyle{ E[X] = G_X'(1) }


先ほど求めたポアソン分布の確率母関数を使用して、ポアソン分布の期待値を求めてみます。

\displaystyle{ \begin{align} G_X'(s) &= \frac{d}{ds} e^{\lambda(s-1)} \\ &= \lambda e^{\lambda(s-1)} \end{align} }


s=1を代入すると次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} G_X'(1) &= \lambda e^{\lambda(1-1)}　\\ &= \lambda \end{align} }


G_X'(1)=E[X]となるため、このように確率母関数から期待値を求めることができました。




3. 分散の導出

分散は確率母関数の二階微分 G_X''(s)に s=1を代入した値を使用して、次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ &= G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 \end{align} }


先ほど求めたポアソン分布の確率母関数と期待値を使用して、ポアソン分布の分散を求めてみます。

\displaystyle{ \begin{align} G_X''(s) &= \frac{d^2}{ds^2} e^{\lambda(s-1)} \\ &= \lambda^2 e^{\lambda(s-1)} \end{align} }


s=1を代入すると次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} G_X''(1) &= \lambda^2 e^{\lambda(1-1)} \\ &= \lambda^2 \end{align} }


これを利用して分散の公式にあてはめます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 \\ &= \lambda^2 + \lambda - \lambda^2\\ &= \lambda \end{align} }


このようにして確率母関数から分散を求めることができました。