ポアソン分布の性質（期待値・分散・確率母関数・モーメント母関数）

ポアソン分布は、一定の時間や空間内で独立して無作為に発生する離散的な事象の数に関する確率分布です。

平均して $\lambda$ （ラムダ）回発生する珍しい事象の確率をモデル化するのに用いられます。

ポアソン分布の確率質量関数は、以下の式で定義されます。

$\displaystyle{ \begin{align} P(X=x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \end{align} }$

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ポアソン分布の期待値と分散は次のようになります。

$\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \lambda \\ V[X] &= \lambda \end{align} }$

確率質量関数から期待値と分散を導出の詳細は、次の記事で解説しています。

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ポアソン分布のモーメント母関数は次のようになります。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) = e^{\lambda(e^t-1)} \end{align} }$

詳細な導出は次の記事で解説しています。

加えて、モーメント母関数から期待値と分散の導出も解説しています。

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ポアソン分布の確率母関数は次のようになります。

$\displaystyle{ \begin{align} G_X(s) &= e^{\lambda(s-1)} \end{align} }$

詳細な導出は次の記事で解説しています。

加えて、確率母関数から期待値と分散の導出も解説しています。

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$n$ が大きく、 $p$ が小さい場合（または $p$ が大きく $1−p$ が小さい場合）、二項分布はポアソン分布に近似されることがあります。

二項分布のポアソン近似に関しては、次の記事で解説しています。

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確率質量関数
$\displaystyle{ \begin{align} P(X=x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \end{align} }$
期待値
$\displaystyle{ \begin{align} E[X] = \lambda \ \end{align} }$
分散
$\displaystyle{ \begin{align} V[X] = \lambda \end{align} }$
モーメント母関数
$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) = e^{\lambda(e^t-1)} \end{align} }$
確率母関数
$\displaystyle{ \begin{align} G_X(s) = e^{\lambda(s-1)} \end{align} }$

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