幾何分布 期待値と分散の導出

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この記事では定義通りに期待値・分散の導出を解説します。



幾何分布の解説については、次の記事で解説しています。

こちらも合わせて確認してみてください。

venoda.hatenablog.com


モーメント母関数から期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com


確率母関数から期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com



1. 期待値の導出

幾何分布 Geo(p)の確率質量関数は、次のように定義されます。

\displaystyle{ \begin{align} P(X = x) = (1 - p)^x \cdot p \end{align} }


期待値の定義に従って、幾何分布の場合の E[X]を設定します。

\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \sum_{x=0}^{∞} x P(X=x) \\ \end{align} }


幾何分布の確率質量関数を代入して、式を整理します。

\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \sum_{x=1}^{∞} x \cdot (1 - p)^x \cdot p \\ &= p(1-p) \sum_{x=1}^{∞} x \cdot (1 - p)^{x-1} \end{align} }


右辺の総和を求めるために、 1/(1-x)のテイラー展開を考えます。

1/(1-x)のテイラー展開は次のようになります。

\displaystyle{ \begin{align} \frac{1}{1-x} &= 1 + x + x^2 + \cdots \\ &= \sum_{k=0}^{∞} x^k \end{align} }


両辺を微分します。

\displaystyle{ \begin{align} \left( \frac{1}{1-x} \right)' = \frac{1}{(1 - x)^2} \end{align} }


\displaystyle{ \begin{align} \left( \sum_{k=0}^{∞} x^k \right)' = \sum_{k=1}^{∞} k x^{k-1} \end{align} }


微分した結果をまとめると次のようになります。

\displaystyle{ \begin{align} \frac{1}{(1 - x)^2} = \sum_{k=1}^{∞} k x^{k-1} \end{align} }


x = 1 - pとおくと、次のように表すことができます。

\displaystyle{ \begin{align} \frac{1}{p^2} = \sum_{k=1}^{∞} k (1-p)^{k-1} \end{align} }


この式を利用して、期待値 E[X]を求めます。

\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= p(1-p) \sum_{x=1}^{∞} x \cdot (1 - p)^{x-1} \\ &= p(1-p)\cdot \frac{1}{p^2} \\ &= \frac{1-p}{p^2} \end{align} }


このように期待値の定義から期待値を求めることができました。




2. 分散の導出

分散は次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ \end{align} }


分散を求めるために、 E[X^ 2]を求めます。

期待値の定義に従って、幾何分布の場合の E[X^ 2]​を設定します。

\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \sum_{x=0}^{∞} x^2 P(X=x) \\ \end{align} }


幾何分布の確率質量関数を代入して、式を整理します。

\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= \sum_{x=1}^{∞} x^2 \cdot (1 - p)^x \cdot p \\ &= p (1-p) \sum_{x=1}^{∞} x^2 \cdot (1 - p)^{x-1} \end{align} }


右辺の総和を求めるために、 1/(1-x)のテイラー展開を考えます。

1/(1-x)のテイラー展開は次のようになります。

\displaystyle{ \begin{align} \frac{1}{1-x} &= 1 + x + x^2 + \cdots \\ &= \sum_{k=0}^{∞} x^k \end{align} }


両辺を微分します。

\displaystyle{ \begin{align} \left( \frac{1}{1-x} \right)' = \frac{1}{(1 - x)^2} \end{align} }


\displaystyle{ \begin{align} \left( \sum_{k=0}^{∞} x^k \right)' = \sum_{k=1}^{∞} k x^{k-1} \end{align} }


微分した結果をまとめると次のようになります。

\displaystyle{ \begin{align} \frac{1}{(1 - x)^2} = \sum_{k=1}^{∞} k x^{k-1} \end{align} }


この式の両辺に xを掛けます。

\displaystyle{ \begin{align} \frac{x}{(1 - x)^2} = \sum_{k=1}^{∞} k x^k \end{align} }


さらに両辺を微分します。

\displaystyle{ \begin{align} \left( \frac{x}{(1 - x)^2} \right)' &= \frac{1+x}{(1-x)^3} \end{align} }


\displaystyle{ \begin{align} \left( \sum_{k=1}^{∞} k x^k \right)' &= \sum_{k=1}^{∞} k^2 x^{k-1} \end{align} }


微分した結果をまとめると次のようになります。

\displaystyle{ \begin{align} \frac{1+x}{(1-x)^3} = \sum_{k=1}^{∞} k^2 x^{k-1} \end{align} }


x = 1 - pとおくと、次のように表すことができます。

\displaystyle{ \begin{align} \frac{2 - p}{p^3} &= \sum_{k=1}^{∞} k^2 (1-p)^{k-1} \end{align} }


この式を利用して、期待値 E[X^ 2]を求めます。

\displaystyle{ \begin{align} E[X^2] &= p (1-p) \sum_{x=1}^{∞} x^2 \cdot (1 - p)^{x-1} \\ &= p (1-p) \frac{2-p}{p^3} \\ &= \frac{(1-p)(2-p)}{p^2} \\ \end{align} }


E[X^ 2]が求まったので、分散の公式に当てはめて分散を求めていきます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ &= \frac{(1-p)(2-p)}{p^2} - \frac{(1-p)^2}{p^2} \\ &= \frac{1-p}{p^2} \end{align} }


このように期待値の定義から分散を求めることができました。