幾何分布の性質（期待値・分散・確率関数・モーメント母関数）

幾何分布は、成功確率が $p$ のベルヌーイ試行を独立に行い、初めて成功するまでの失敗回数の分布を表します。

失敗の回数は確率変数 $X$ として扱い、確率質量関数は以下の式で表されます。

$\displaystyle{ \begin{align} P(X = x) = (1 - p)^x \cdot p \end{align} }$

上記の内容は、最初の成功までの失敗回数を確率変数 $X$ として定義する場合です。

図で表すと次のように、失敗回数のみに焦点を当てています。

幾何分布には、もう一つの定義方法があり、初めて成功するまでの試行回数全体を確率変数 $X$ として定義します。

成功を含むため、もし最初の試行で成功した場合、試行回数は1となります。

この定義における確率質量関数は以下の式で表されます。

$\displaystyle{ \begin{align} P(X = x) = (1-p)^{x-1} \cdot p \end{align} }$

図で表すと次のように、試行回数全体を確率変数 $X$ として定義しています。

この場合、 $x-1$ は成功するまでの失敗回数を意味しますが、 $x$ は試行回数全体を表しているため、最初の成功を含みます。

以下、失敗回数に基いた幾何分布の解説を行います。

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幾何分布の期待値と分散は次のようになります。

$\displaystyle{ \begin{align} E[X] &= \frac{1-p}{p} \\ V[X] &= \frac{1-p}{p^2} \end{align} }$

確率質量関数から期待値と分散を導出の詳細は、次の記事で解説しています。

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幾何分布のモーメント母関数は次のようになります。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) = \frac{p}{1 - (1-p)e^t} \end{align} }$

詳細な導出は次の記事で解説しています。

加えて、モーメント母関数から期待値と分散の導出も解説しています。

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幾何分布の確率母関数は次のようになります。

$\displaystyle{ \begin{align} G_X(s) &= \frac{p}{1 - s(1 - p)} \end{align} }$

詳細な導出は次の記事で解説しています。

加えて、確率母関数から期待値と分散の導出も解説しています。

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確率質量関数

$\displaystyle{ \begin{align} P(X = x) = (1 - p)^ x \cdot p \end{align} }$
期待値

$\displaystyle{ \begin{align} E[X] = \frac{1-p}{p} \ \end{align} }$
分散

$\displaystyle{ \begin{align} V[X] = \frac{1-p}{p^ 2} \end{align} }$
モーメント母関数

$\displaystyle{ \begin{align} M _ X(t) = \frac{p}{1 - (1-p)e^ t} \end{align} }$
確率母関数

$\displaystyle{ \begin{align} G _ X(s) = \frac{p}{1 - s(1 - p)} \end{align} }$

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