幾何分布モーメント母関数を使用した期待値と分散の導出

この記事ではモーメント母関数の導出および期待値・分散の導出を解説します。

1. モーメント母関数の導出
2. 期待値の導出
3. 分散の導出

幾何分布の解説については、次の記事で解説しています。

こちらも合わせて確認してみてください。

venoda.hatenablog.com

期待値の定義通りに期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com

確率母関数から期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com

1. モーメント母関数の導出

幾何分布 $Geo(p)$ の確率質量関数は、次のように定義されます。

$\displaystyle{ \begin{align} P(X = x) = (1 - p)^x \cdot p \end{align} }$

モーメント母関数の定義に従って、幾何分布の場合の $M _ X(t)$ を設定します。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= E[e^{tX}] \\ &= \sum_{x=0}^{∞} e^{tx} P(X=x) \\ \end{align} }$

幾何分布の確率質量関数を代入して、式を整理します。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= \sum_{x=0}^{∞}e^{tx} (1 - p)^x \cdot p \\ &= p \sum_{x=0}^{∞} (e^{t}(1 - p))^x \end{align} }$

ここで、 $\sum _ {x=0}^ {∞} (e^ {t}(1 - p))^ x$ の箇所のみ考えます。

$S _ n = \sum _ {x=0}^ {n} (e^ {t}(1 - p))^ x$ として、 $0$ から $n$ までの等比数列の和 $S _ n$ を求めます。

$r = e^ {t}(1 - p)$ とおいて計算します。

$\displaystyle{ \begin{align} S_n &= 1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1} + r^n \\ rS_n &= r + r^2 + \cdots + r^n + r^{n+1} \end{align} }$

$\displaystyle{ \begin{align} S_n - rS_n &= 1 - r^{n+1} \\ S_n(1-r) &= 1 - r^{n+1} \\ S_n &= \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r} \\ \end{align} }$

$r = e^ {t}(1 - p)$ としていたので、 $S _ n$ は次のように表すことができます。

$\displaystyle{ \begin{align} S_n &= \frac{1 - (e^{t}(1 - p))^{n+1}}{1 - e^{t}(1 - p)} \end{align} }$

次に、 $\sum _ {x=0}^ {∞} (e^ {t}(1 - p))^ x$ のときを求めます。

これは $S _ n$ を $n → ∞$ したときなので、次のように求めることができます。

$\displaystyle{ \begin{align} \lim_{n→∞} S_n &= \lim_{n→∞} \frac{1 - (e^{t}(1 - p))^{n+1}}{1 - e^{t}(1 - p)} \\ &= \frac{1}{1 - e^{t}(1 - p)} \end{align} }$

ここで、 $(e^ t(1-p))^ {n+1}$ の箇所は、 $0 \lt e^ t(1-p) \lt 1$ のとき $0$ に収束します。

以上をふまえると、モーメント母関数は次のように求めることができます。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X(t) &= p \sum_{x=0}^{∞} (e^{t}(1 - p))^x　\\ &= \frac{p}{1 - (1-p)e^t} \end{align} }$

以上が幾何分布のモーメント母関数の導出になります。

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2. 期待値の導出

期待値はモーメント母関数の一階微分 $M _ X'(t)$ に $t=0$ を代入することで得られます。

$\displaystyle{ E[X] = M_X'(0) }$

先ほど求めた幾何分布のモーメント母関数を使用して、幾何分布の期待値を求めてみます。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X'(s) &= \frac{d}{dt} \frac{p}{1 - (1-p)e^t} \\ &= \frac{ p(1-p)e^t }{ (1 - (1-p)e^t)^2 } \end{align} }$

$t=0$ を代入すると次のように求めることができます。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X'(0) &= \frac{ p(1-p)e^0 }{ (1 - (1-p)e^0)^2 } \\ &= \frac{1-p}{p} \end{align} }$

$M _ X'(0)=E[X]$ となるため、このようにモーメント母関数から期待値を求めることができました。

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3. 分散の導出

分散はモーメント母関数の二階微分 $M _ X''(t)$ に $t=0$ を代入した値を使用して、次のように求めることができます。

$\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ &= M_X''(0) - M_X'(0)^2 \end{align} }$

先ほど求めた幾何分布のモーメント母関数と期待値を使用して、幾何分布の分散を求めてみます。

$\displaystyle{ \begin{align} M_X''(t) &= \frac{d^2}{dt^2} \frac{p}{1 - (1-p)e^t} \\ &= \frac{ p(1-p)e^t(1 + (1 - p )e^t) }{ (1 - (1-p)e^t)^3 } \end{align} }$