幾何分布 確率母関数を使用した期待値と分散の導出

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この記事では確率母関数の導出および期待値・分散の導出を解説します。



幾何分布の解説については、次の記事で解説しています。

こちらも合わせて確認してみてください。

venoda.hatenablog.com


モーメント母関数から期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com


期待値の定義通りに期待値・分散の導出は次の記事で解説しています。

venoda.hatenablog.com



1. 確率母関数の導出

幾何分布 Geo(p)の確率質量関数は、次のように定義されます。

\displaystyle{ P(X = x) = (1 - p)^x \cdot p }


確率母関数の定義に従って、幾何分布の場合の G _ X(s)を設定します。

\displaystyle{ \begin{align} G_X(s) &= E[s^X]\\ &= \sum_{x=0}^{∞}s^xP(X=x) \end{align} }


幾何分布の確率質量関数を代入して、式を整理します。

\displaystyle{ \begin{align} G_X(s) &= \sum_{x=0}^{∞}s^x(1 - p)^x \cdot p \\ &= p \sum_{x=0}^{∞}(s(1 - p))^x \\ \end{align} }


ここで、 \sum _ {x=0}^ {∞}(s(1 - p))^ xの箇所のみ考えます。


S _ n = \sum _ {x=0}^ {n} (s(1 - p))^ xとして、 0から nまでの等比数列の和 S _ nを求めます。

r = s(1 - p)とおいて計算します。

\displaystyle{ \begin{align} S_n &= 1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1} + r^n \\ rS_n &= r + r^2 + \cdots + r^n + r^{n+1} \end{align} }


\displaystyle{ \begin{align} S_n - rS_n &= 1 - r^{n+1} \\ S_n(1-r) &= 1 - r^{n+1} \\ S_n &= \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r} \\ \end{align} }


r = s(1 - p)としていたので、 S _ nは次のように表すことができます。

\displaystyle{ \begin{align} S_n &= \frac{1 - (s(1-p))^{n+1}}{1 - s(1 - p)} \end{align} }


次に、 \sum _ {x=0}^ {∞} (s(1 - p))^ xのときを求めます。

これは S _ nを n → ∞したときなので、次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} \lim_{n→∞} S_n &= \lim_{n→∞} \frac{1 - (s(1-p))^{n+1}}{1 - s(1 - p)} \\ &= \frac{1}{1 - s(1 - p)} \end{align} }


ここで、 (s(1-p))^ {n+1}の箇所は、 0 \lt s(1-p)\lt 1のとき 0に収束します。


以上をふまえると、確率母関数は次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} G_X(s) &= p \sum_{x=0}^{∞}(s(1 - p))^x \\ &= \frac{p}{1 - s(1 - p)} \end{align} }


以上が幾何分布の確率母関数の導出になります。




2. 期待値の導出

期待値は確率母関数の一階微分 G _ X'(s)に s=1を代入することで得られます。

\displaystyle{ E[X] = G_X'(1) }


先ほど求めた幾何分布の確率母関数を使用して、幾何分布の期待値を求めてみます。

\displaystyle{ \begin{align} G_X'(s) &= \frac{d}{ds} \frac{p}{1 - s(1 - p)} \\ &= \frac{p(1-p)}{(1 - s(1-p))^2} \end{align} }


s=1を代入すると次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} G_X'(1) &= \frac{p(1-p)}{(1 - 1\cdot(1-p))^2}\\ &= \frac{1-p}{p} \end{align} }


G _ X'(1)=E[X]となるため、このように確率母関数から期待値を求めることができました。




3. 分散の導出

分散は確率母関数の二階微分 G _ X''(s)に s=1​を代入した値を使用して、次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2\\ &= G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 \end{align} }


先ほど求めた幾何分布の確率母関数と期待値を使用して、幾何分布の分散を求めてみます。

\displaystyle{ \begin{align} G_X''(s) &= \frac{d^2}{ds^2} \frac{p}{1 - s(1 - p)} \\ &= \frac{ 2p(1-p)^2 }{ (1 - s(1-p))^3 } \end{align} }


s=1を代入すると次のように求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} G_X''(1) &= \frac{ 2p(1-p)^2 }{ (1 - 1\cdot(1-p))^3 } \\ &= \frac{ 2p(1-p)^2 }{ p^3 } \\ &= \frac{ 2(1-p)^2 }{ p^2 } \end{align} }


これを利用して分散の公式にあてはめます。

\displaystyle{ \begin{align} V[X] &= G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 \\ &= \frac{ 2(1-p)^2 }{ p^2 } + \frac{1-p}{p} - \frac{(1-p)^2}{p^2} \\ &= \frac{ 1-p }{ p^2 } \end{align} }


このようにして確率母関数から分散を求めることができました。