順序統計量

統計 資格




1. 順序統計量とは？

順序統計量とは、統計学において、サンプルデータを小さい順に並べたときの、特定の順位にあるデータの値を指します。

これは、サンプルの中で最小値、最大値、中央値など、特定の位置にある値を特定するために使われます。


順序統計量の例をいくつか見てみましょう。

  • 最小値

    サンプルデータの中で最も小さい値となります。


  • 最大値

    サンプルデータの中で最も大きい値となります。


  • 中央値（メディアン）

    サンプルデータを小さい順に並べたとき、ちょうど中央に位置する値。

    サンプルサイズが奇数の場合は、中央の値がそのまま中央値となり、偶数の場合は、中央に位置する2つの数値の平均が中央値となります。


順序統計量の定義は、 n個のサンプルが X _ 1, X _ 2, ..., X _ nと与えられたとき、これらを昇順に並べ替えたものを X _ {(1)}, X _ {(2)}, ..., X _ {(n)}と表します。

ここで、 X _ {(1)}は最小値、 X _ {(n)}は最大値となり、 X _ {(k)}は k番目に小さい値、つまり k番目の順序統計量となります。




2. 最大値の確率密度関数

最大値 X _ {(n)}の確率密度関数を求めてみたいと思います。


最大値 X _ {(n)}が従う分布は、確率変数 Xの実現値 xが X _ {(n)} \leq x​の確率として定義されます。

これは、実現値 xがすべての確率変数 X _ 1, X _ 2, \ldots, X _ n以上となることを意味しており、式で表すと次のようになります。

\displaystyle{ \begin{align} P(X_{(n)} \leq x) = P(X_1 \leq x, X_2 \leq x, \ldots,X_n \leq x) \end{align} }


これらの確率変数は独立であるため、この確率は個々の確率の積として表されます。

\displaystyle{ \begin{align} P(X_{(n)} \leq x) = P(X_1 \leq x) \cdot P(X_2 \leq x) \cdots P(X_n \leq x) \end{align} }


各確率変数 X _ i​はすべて同じ確率分布に従うと仮定すると、累積分布関数の積として表すことができます。

\displaystyle{ \begin{align} P(X_{(n)} \leq x) &= F(x) \cdot F(x) \cdots F(x) \\ &= F(x) ^ n \end{align} }


この式は X _ {(n)}の累積分布関数となるため、累積分布関数を微分して X _ {(n)}の確率密度関数を求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} f_{(n)}(x) &= \frac{d}{dx} F(x)^n \\ &= n f(x) F(x)^{n-1} \end{align} }


以上の流れで、最大値 X _ {(n)}​の確率密度関数を求めることができました。




3. 最小値の確率密度関数

最小値 X _ {(1)}の確率密度関数を求めてみたいと思います。


最小値 X _ {(1)}が従う分布は、確率変数 Xの実現値 xが X _ {(1)} \gt xの確率として定義されます。

これは、実現値 xがすべての確率変数 X _ 1, X _ 2, \ldots, X _ nより小さくとなることを意味しており、式で表すと次のようになります。

\displaystyle{ \begin{align} P(X_{(1)} \gt x) &= P(X_1 \gt x, X_2 \gt x, \ldots , X_n \gt x) \end{align} }


これらの確率変数は独立であるため、この確率は個々の確率の積として表されます。

\displaystyle{ \begin{align} P(X_{(1)} \gt x) &= P(X_1 \gt x) \cdot P(X_2 \gt x) \cdots P(X_n \gt x) \end{align} }


ここで、各確率変数 X _ iはすべて同じ確率分布に従うと仮定すると、 P(X _ i \gt x)は次のように表すことができます。

\displaystyle{ \begin{align} P(X_i \gt x) &= 1 - P(X_i \leq x) \\ &= 1 - F(x) \end{align} }


これらを利用すると、 P(X _ {(1)} \gt x)は累積分布関数の積として表すことができます。

\displaystyle{ \begin{align} P(X_{(1)} \gt x) &= (1 - F(x)) \cdot (1 - F(x)) \cdots (1 - F(x)) \\ &= (1 - F(x))^n \end{align} }


次に、 P(X _ {(1)} \gt x)を累積分布関数の形になるように変換します。

P(X _ {(1)} \leq x) = 1 - P(X _ {(1)} \gt x)となるので、次のように表すことができます。

\displaystyle{ \begin{align} P(X_{(1)} \leq x) &= 1 - P(X_{(1)} \gt x) \\ &= 1 - (1 - F(x))^n \end{align} }


この式は X _ {(1)}の累積分布関数となるため、累積分布関数を微分して X _ {(1)}の確率密度関数を求めることができます。

\displaystyle{ \begin{align} f_{(1)}(x) &= \frac{d}{dx} (1 - (1 - F(x))^n) \\ &= n f(x) (1 - F(x))^{n-1} \end{align} }


以上の流れで、最小値 X _ {(1)}の確率密度関数を求めることができました。




4. k番目の確率密度関数

X _ {(k)}の確率密度関数を求めてみたいと思います。


X _ {(k)}が従う分布は、確率変数 Xの実現値 xが、 X _ {(k)} \lt x, X _ {(k)} = x , X _ {(k)} \gt xの3つの事象に分けて考えます。

それぞれの事象と確率は次の表のようになります。

事象 確率 出現回数
X _ {(k)} \lt x P(X _ {(k)} \lt x) = F(x) k-1回
X _ {(k)} = x P(X _ {(k)} = x) = f(x) 1回
X _ {(k)} \gt x P(X _ {(k)} \gt x) = 1 - F(x) n-k回


これは3つの事象の三項分布と考えることができるため、確率密度関数は次のように表すことができます。

\displaystyle{ \begin{align} f_{(k)}(x) &= \frac{ n! }{ (k-1)! \cdot 1! \cdot (n-k)! } \cdot \{F(x)\}^{k-1} \cdot f(x) \cdot \{1-F(x)\}^{n-k} \end{align} }




5. i番目とj番目の同時確率密度関数

X _ {(i)}と X _ {(j)}（ i \lt j）の同時確率密度関数を求めてみたいと思います。


X _ {(i)}と X _ {(j)}が同時確率密度関数 f _ {X _ {(i)}, X _ {(j)}}(x, y)に従う場合に、5つの事象に分けて考えます。

それぞれの事象と確率は次の表のようになります。

事象 確率 出現回数
X _ {(k)} \lt x P(X _ {(k)} \lt x) = F(x) i-1回
X _ {(k)} = x P(X _ {(k)} = x) = f(x) 1回
x \lt X _ {(k)} \lt y P(x \lt X _ {(k)} \lt y) = F(y) - F(x) j - i - 1回
X _ {(k)} = y P(X _ {(k)} = y) = f(y) 1回
X _ {(k)} \gt y P(X _ {(k)} \gt y) = 1 - F(y) n-j回


これは5つの事象の五項分布と考えることができるため、確率密度関数は次のように表すことができます。

\displaystyle{ \begin{align} f_{X_{(i)}, X_{(j)}}(x, y) &= \frac{ n! }{ (i-1)! \cdot 1! \cdot (j-i-1)! \cdot 1! \cdot (n-j)! } \cdot \{F(x)\}^{i-1} \cdot f(x) \cdot \{F(y) - F(x)\}^{j-i-1} \cdot f(y) \cdot \{1 - F(y) \}^{n-j} \end{align} }